Matematyka, poziom podstawowy — maj 2024

31 zadań z arkusza CKE (maj 2024, poziom podstawowy), 46 pkt: Nierówność z wartością bezwzględną — który rysunek osi?; Potęgi dwójki w przebraniu szesnastki i ósemki; Dowód: reszta 2 z dzielenia sumy trzech kwadratów przez 3; Logarytm o podstawie pierwiastkowej. Polecenia, klucz odpowiedzi CKE i…

Zadanie 1 — Nierówność z wartością bezwzględną — który rysunek osi? (1 punkt)

A. x −2 4 B. x −2 4 C. x −2 4 D. x −2 4
Cztery osie liczbowe — warianty zbioru rozwiązań nierówności z modułem (zad. 1) · Arkusz CKE MMAP-P0-100-2405, matematyka PP, 8 maja 2024 · rysunek własny (Akademia Sokratejska) na motywach zadania CKE · materiał własny; zadanie źródłowe — dozwolony użytek (art. 27 pr. aut.)
1

Dana jest nierówność

$|x-1|\ge 3$

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych (A–D na ilustracji).

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź B — $(-\infty,-2]\cup[4,+\infty)$, kropki pełne.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 2 — Potęgi dwójki w przebraniu szesnastki i ósemki (1 punkt)

2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\left(\frac{1}{16}\right)^{8}\cdot 8^{16}$ jest równa

A. $2^{24}$

B. $2^{16}$

C. $2^{12}$

D. $2^{8}$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź B ($2^{16}$).

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 3 — Dowód: reszta 2 z dzielenia sumy trzech kwadratów przez 3 (2 punkty)

3

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
  • 2 pkt — postać $3(n^2+2n+1)+2$ (albo pełny argument resztowy z wnioskiem)
  • 1 pkt — rozwinięcie kwadratów albo argument bez wniosku
  • przykłady = 0

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 4 — Logarytm o podstawie pierwiastkowej (1 punkt)

4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_{\sqrt{3}}9$ jest równa

A. $2$

B. $3$

C. $4$

D. $9$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź C ($4$) — $(\sqrt3)^4=9$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 5 — Różnica kwadratów dwóch nawiasów — wzory skróconego mnożenia (1 punkt)

5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ wartość wyrażenia $(2a+b)^2-(2a-b)^2$ jest równa wartości wyrażenia

A. $8a^2$

B. $8ab$

C. $-8ab$

D. $2b^2$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź B ($8ab$).

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 6 — Nierówność liniowa z ułamkami (1 punkt)

6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

$1-\frac{3}{2}x<\frac{2}{3}-x$

jest przedział

A. $\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)$

B. $\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)$

C. $\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)$

D. $\left(\frac{2}{3},+\infty\right)$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź D ($(\frac23,+\infty)$).

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 7 — Równanie wymierne — kiedy ułamek jest zerem? (1 punkt)

7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

A. nie ma rozwiązania.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $(-1)$.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania: $(-2)$ oraz $3$.

D. ma dokładnie trzy rozwiązania: $(-1)$, $(-2)$ oraz $3$.

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź B — tylko $x=-1$ (licznik), $-2$ i $3$ poza dziedziną.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 8 — Wielomian — rozkład na czynniki i sprawdzanie pierwiastka (1 punkt)

8

Dany jest wielomian $W(x)=3x^3+6x^2+9x$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

1. Wielomian $W$ jest iloczynem wielomianów $F(x)=3x$ i $G(x)=x^2+2x+3$.

2. Liczba $(-1)$ jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$.

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

PF — mnożenie się zgadza; $W(-1)=-6$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 9 — Równanie sześcienne — grupowanie wyrazów (3 punkty)

9

Rozwiąż równanie

$x^3-2x^2-3x+6=0$

Zapisz obliczenia.

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

$-\sqrt3$, $\sqrt3$, $2$; drabinka 1–3 pkt wg klucza; same wyniki bez metody = 1 pkt.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 10 — Dwa sady — który układ równań opisuje sytuację? (1 punkt)

10

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie $1960$ drzew. Po roku stwierdzono, że uschło $5%$ drzew w pierwszym sadzie i $10%$ drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła $60%$ liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech $x$ oraz $y$ oznaczają liczby drzew posadzonych — odpowiednio — w pierwszym i drugim sadzie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczb $x$ oraz $y$, jest

A. $x+y=1960$ oraz $0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y$

B. $x+y=1960$ oraz $0{,}95x=0{,}6\cdot0{,}9y$

C. $x+y=1960$ oraz $0{,}05x=0{,}6\cdot0{,}1y$

D. $x+y=1960$ oraz $0{,}4\cdot0{,}95x=0{,}9y$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź A — $0{,}9y=0{,}6\cdot0{,}95x$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 11 — Dwie proste równoległe — który układ równań widać na rysunku? (1 punkt)

x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
Dwie proste równoległe malejące (zad. 11) · Arkusz CKE MMAP-P0-100-2405, matematyka PP, 8 maja 2024 · rysunek własny (Akademia Sokratejska) na motywach zadania CKE · materiał własny; zadanie źródłowe — dozwolony użytek (art. 27 pr. aut.)
11

W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono dwie proste równoległe, będące interpretacją geometryczną jednego z układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

A. $y=-\frac{3}{2}x+3$ oraz $y=-\frac{3}{2}x-1$

B. $y=\frac{3}{2}x+3$ oraz $y=-\frac{2}{3}x-1$

C. $y=\frac{3}{2}x+3$ oraz $y=\frac{3}{2}x-1$

D. $y=-\frac{3}{2}x-3$ oraz $y=\frac{3}{2}x+1$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź A — obie o współczynniku $-\frac32$, wyrazy wolne $3$ i $-1$ (układ sprzeczny).

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 12 — Kiedy funkcja liniowa z parametrem jest malejąca? (1 punkt)

12

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(-2k+3)x+k-1$, gdzie $k\in\mathbb{R}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału

A. $(-\infty,1)$

B. $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)$

C. $(1,+\infty)$

D. $\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź D — $-2k+3<0$ → $k>\frac32$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 13 — Dwie funkcje liniowe o wspólnym miejscu zerowym (1 punkt)

13

Funkcje liniowe $f$ oraz $g$, określone wzorami $f(x)=3x+6$ oraz $g(x)=ax+7$, mają to samo miejsce zerowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $g$ jest równy

A. $\left(-\frac{7}{2}\right)$

B. $\left(-\frac{2}{7}\right)$

C. $\frac{2}{7}$

D. $\frac{7}{2}$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź D ($\frac72$) — $g(-2)=0$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 14 — Parabola na wykresie — odczyty, wzór i przekształcenia (5 punktów)

W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołek paraboli oraz punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

x y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 y = f(x)
Wykres funkcji kwadratowej f (zad. 14, materiał wiązki) · Arkusz CKE MMAP-P0-100-2405, matematyka PP, 8 maja 2024 · rysunek własny (Akademia Sokratejska) na motywach zadania CKE · materiał własny; zadanie źródłowe — dozwolony użytek (art. 27 pr. aut.)
A. -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 B. -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 C. -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 D. -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 E. -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 F. -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
Sześć miniatur parabol A–F do wyboru wykresów g i h (zad. 14.4) · Arkusz CKE MMAP-P0-100-2405, matematyka PP, 8 maja 2024 · rysunek własny (Akademia Sokratejska) na motywach zadania CKE · materiał własny; zadanie źródłowe — dozwolony użytek (art. 27 pr. aut.)
14.1

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\ge0$ jest przedział …………… .

14.2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem

A. $f(x)=-(x+1)^2-9$

B. $f(x)=-(x-1)^2+9$

C. $f(x)=-(x-1)^2-9$

D. $f(x)=-(x+1)^2+9$

14.3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość

A. $f(-4)=f(6)$

B. $f(-4)=f(5)$

C. $f(-4)=f(4)$

D. $f(-4)=f(7)$

14.4

Funkcje kwadratowe $g$ oraz $h$ są określone za pomocą funkcji $f$ następująco: $g(x)=f(x+3)$, $h(x)=f(-x)$.

Każdej z funkcji $g$ oraz $h$ przyporządkuj fragment jej wykresu spośród rysunków A–F.

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
  • 14.1 — $[-2,4]$. 14.2: B. 14.3: A. 14.4: $g$→A, $h$→E (po 1 pkt).

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 15 — Ciąg z minus jedynką do potęgi — prawda czy fałsz (1 punkt)

15

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=(-1)^n\cdot(n-5)$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

1. Pierwszy wyraz ciągu $(a_n)$ jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.

2. Wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ są dodatnie.

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

PF — $a_1=4$, $a_3=2$, $a_2=-3$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 16 — Ciąg geometryczny z parametrem — malejący czy rosnący? (1 punkt)

16

Trzywyrazowy ciąg $(12,\ 6,\ 2m-1)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Ten ciąg jest: A. rosnący / B. malejący

oraz: 1. $m=\frac{1}{2}$ / 2. $m=2$ / 3. $m=3$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

B2 — $q=\frac12$, $2m-1=3$ → $m=2$; wyrazy $12,6,3$ maleją.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 17 — Ciąg arytmetyczny — różnica z trzeciego wyrazu i sumy piętnastu (2 punkty)

17

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $(-1)$, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $(-165)$.

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

$r=-2$

  • Punktacja: 1 pkt za układ/równanie/$a_8=-11$; $-165$ jako $a_{15}$ = 0.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 18 — Kąt rozwarty o danym tangensie — które zależności są prawdziwe? (2 punkty)

x y -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 0 α
Kąt rozwarty α w układzie współrzędnych (zad. 18) · Arkusz CKE MMAP-P0-100-2405, matematyka PP, 8 maja 2024 · rysunek własny (Akademia Sokratejska) na motywach zadania CKE · materiał własny; zadanie źródłowe — dozwolony użytek (art. 27 pr. aut.)
18

W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczono kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\operatorname{tg}\alpha=-3$ oraz $90°<\alpha<180°$.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery.

Prawdziwe są zależności: …… oraz …… .

A. $\sin\alpha<0$

B. $\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0$

C. $\sin\alpha\cdot\cos\alpha>0$

D. $\cos\alpha>0$

E. $\sin\alpha=-\frac{1}{3}\cos\alpha$

F. $\sin\alpha=-3\cos\alpha$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

B i F

  • Punktacja: 1 pkt za jedną poprawną.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 19 — Sinus wyłączony przed nawias — jedynka trygonometryczna (1 punkt)

19

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sin^3 20°+\cos^2 20°\cdot\sin 20°$ jest równa

A. $\cos 20°$

B. $\sin 20°$

C. $\operatorname{tg} 20°$

D. $\sin 20°\cdot\cos 20°$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź B ($\sin 20°$).

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 20 — Twierdzenie o dwusiecznej — proporcja boków (1 punkt)

K L M N a b e c d
Trójkąt KLM z dwusieczną MN i odcinkami a, b, c, d, e (zad. 20) · Arkusz CKE MMAP-P0-100-2405, matematyka PP, 8 maja 2024 · rysunek własny (Akademia Sokratejska) na motywach zadania CKE · materiał własny; zadanie źródłowe — dozwolony użytek (art. 27 pr. aut.)
20

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$, $|LM|=b$ oraz $a\ne b$. Dwusieczna kąta $KML$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ takim, że $|KN|=c$, $|NL|=d$ oraz $|MN|=e$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie $KLM$ prawdziwa jest równość

A. $a\cdot b=c\cdot d$

B. $a\cdot d=b\cdot c$

C. $a\cdot c=b\cdot d$

D. $a\cdot b=e\cdot e$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź B ($ad=bc$) — $\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 21 — Pole równoległoboku z kątem 120 stopni (1 punkt)

21

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120°$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego równoległoboku jest równe

A. $12$

B. $12\sqrt{3}$

C. $6$

D. $6\sqrt{3}$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź D ($6\sqrt3$) — $3\cdot4\cdot\sin120°$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 22 — Trójkąt w okręgu — kąt przy środku okręgu opisanego (1 punkt)

42° S A B C
Trójkąt ABC w okręgu o środku S, kąt 42°, szukany BAS (zad. 22) · Arkusz CKE MMAP-P0-100-2405, matematyka PP, 8 maja 2024 · rysunek własny (Akademia Sokratejska) na motywach zadania CKE · materiał własny; zadanie źródłowe — dozwolony użytek (art. 27 pr. aut.)
22

W trójkącie $ABC$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $ACB$ ma miarę $42°$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BAS$ jest równa

A. $42°$

B. $45°$

C. $48°$

D. $69°$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź C ($48°$) — $\angle ASB=84°$, trójkąt $ASB$ równoramienny.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 23 — Prostopadłość prostych z parametrem (1 punkt)

23

W kartezjańskim układzie współrzędnych proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

$k$: $y=(m+1)x+7$

$l$: $y=-2x+7$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa

A. $\left(-\frac{1}{2}\right)$

B. $\frac{1}{2}$

C. $(-3)$

D. $1$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź A ($-\frac12$) — $(m+1)(-2)=-1$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 24 — Równoległobok w układzie współrzędnych — bok z przekątnych (2 punkty)

24

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $A=(-2,6)$ oraz $B=(10,2)$. Przekątne $AC$ oraz $BD$ tego równoległoboku przecinają się w punkcie $P=(6,7)$.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

$|BC|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ (np. $C=(14,8)$ ze środka przekątnej)

  • Punktacja: 1 pkt za $C$/$D$/$S$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 25 — Graniastosłup sześciokątny — ściana boczna i kąt przekątnej (2 punkty)

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $6$. Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $15\sqrt{3}$.

6
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny o wysokości 6 (zad. 25, materiał) · Arkusz CKE MMAP-P0-100-2405, matematyka PP, 8 maja 2024 · rysunek własny (Akademia Sokratejska) na motywach zadania CKE · materiał własny; zadanie źródłowe — dozwolony użytek (art. 27 pr. aut.)
A. B. C. D.
Cztery warianty zaznaczenia kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa (zad. 25.2) · Arkusz CKE MMAP-P0-100-2405, matematyka PP, 8 maja 2024 · rysunek własny (Akademia Sokratejska) na motywach zadania CKE · materiał własny; zadanie źródłowe — dozwolony użytek (art. 27 pr. aut.)
25.1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

A. $36\sqrt{10}$

B. $60$

C. $6\sqrt{10}$

D. $360$

25.2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku (A–D na ilustracji).

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
  • 25.1 — C ($6\sqrt{10}$) — $a=\sqrt{10}$ z pola podstawy. 25.2: D (najdłuższa przekątna + rzut).

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 26 — Ostrosłupy podobne — z objętości do pól powierzchni (1 punkt)

26

Ostrosłup $F_1$ jest podobny do ostrosłupa $F_2$. Objętość ostrosłupa $F_1$ jest równa $64$. Objętość ostrosłupa $F_2$ jest równa $512$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_2$ do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_1$ jest równy …………… .

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

4 — $k^3=8$, $k^2=4$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 27 — Ile kodów z czterech cyfr bez powtórzeń? (1 punkt)

27

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr $1$, $3$, $6$, $8$, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

A. $4$

B. $10$

C. $24$

D. $16$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź C ($24=4!$).

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 28 — Średnia sześciu liczb z podwojonej trójki (1 punkt)

28

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a$, $b$, $c$, jest równa $9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: $a$, $a$, $b$, $b$, $c$, $c$, jest równa

A. $9$

B. $6$

C. $4{,}5$

D. $18$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź A ($9$).

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 29 — Mediana ocen z diagramu słupkowego (1 punkt)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 ocena liczba uczniów
Diagram słupkowy ocen ze sprawdzianu, 26 uczniów (zad. 29) · Arkusz CKE MMAP-P0-100-2405, matematyka PP, 8 maja 2024 · rysunek własny (Akademia Sokratejska) na motywach zadania CKE · materiał własny; zadanie źródłowe — dozwolony użytek (art. 27 pr. aut.)
29

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej — liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

A. $4{,}5$

B. $4$

C. $3{,}5$

D. $3$

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

odpowiedź C ($3{,}5$) — 26 uczniów, wyniki 13. i 14. to $3$ i $4$.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 30 — Losowanie ze zwracaniem — parzysta suma (2 punkty)

30

Dany jest pięcioelementowy zbiór $K={5,6,7,8,9}$. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru $K$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

$P(A)=\frac{13}{25}$

  • Punktacja: 1 pkt za $|\Omega|=25$ / listę / $|A|=13$ / sam wynik; bez zwracania = 0.

Rozwiąż to zadanie z asystentem

Zadanie 31 — Trzy wybiegi przy 36 metrach siatki — największe pole (4 punkty)

wybieg 1. wybieg 2. wybieg 3. y y y x
Schemat trzech wybiegów z siatki, wymiary x i y (zad. 31) · Arkusz CKE MMAP-P0-100-2405, matematyka PP, 8 maja 2024 · rysunek własny (Akademia Sokratejska) na motywach zadania CKE · materiał własny; zadanie źródłowe — dozwolony użytek (art. 27 pr. aut.)
31

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt. Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć $36$ metrów bieżących siatki.

Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź wg zasad oceniania CKE

$x=4{,}5$ m, $y=3$ m; drabinka: związek $4x+6y=36$ (1) → wzór $P$ (2) → jeden wymiar (3) → oba (4); próbkowanie par = 0.

Rozwiąż to zadanie z asystentem