Matematyka, poziom podstawowy — maj 2025

odpowiedź B (18).

• Droga: $\sqrt{32}=4\sqrt2$, więc $4\sqrt2-\sqrt2=3\sqrt2$, a $(3\sqrt2)^2=9\cdot2=18$. Dystraktory diagnostyczne: C (30) = błąd $(a-b)^2=a^2-b^2$
• D (34) = błąd $(a-b)^2=a^2+b^2$
• A (16) = zgubione $\sqrt2$ przy wyłączaniu z $\sqrt{32}$

odpowiedź B (31).

• Droga: wyłączamy $5^{12}$ przed nawias — $\frac{5^{12}(1+5+5^2)}{5^{12}}=1+5+25=31$. Dystraktory: A (30) = zgubiona jedynka (samo $5+25$)
• D ($5^{27}$) = dodawanie wykładników przy DODAWANIU potęg
• C ($5^{12}$) = skrócenie „licznik przez mianownik" bez zauważenia sumy

odpowiedź A (3). Droga: $2\log_3 2=\log_3 4$, więc $\log_3 108-\log_3 4=\log_3 27=3$.

odpowiedź C ($5x^2+24x-5$). Droga: $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$, różnica $=5x^2+24x-5$.

• 2 pkt — zapisanie $n=2l+1$ oraz przekształcenie do postaci $4(3l^2+4l+3)$ (albo inna pełna droga: rozkład na sumę składników podzielnych przez 4 z uzasadnieniem; rozpatrzenie przypadków $n=4l+1$ i $n=4l+3$; rachunek reszt z dzielenia przez 4).
• 1 pkt — zapisanie $n=2l+1$ oraz przekształcenie do postaci $3(4l^2+4l+1)+2(2l+1)+7$ (czyli podstawienie wykonane, ale nie doprowadzone do postaci z czynnikiem 4); albo rozpatrzenie tylko JEDNEGO z przypadków $4l+1$/$4l+3$.
• Uwaga CKE 1 (zerująca): sprawdzenie tezy tylko dla WYBRANYCH wartości $n$ (np. $n=1,3,5$) → 0 punktów za całe rozwiązanie — to nie jest dowód, tylko przykłady.

odpowiedź D. Droga: $3-2(1-2x)\ge 2x-17 \Rightarrow 1+4x\ge 2x-17 \Rightarrow 2x\ge -18 \Rightarrow x\ge -9$, czyli półprosta w PRAWO od $-9$ z końcem domkniętym.

odpowiedź A (dwa rozwiązania: $-3$ oraz $0$). Czynnik $x^2+25$ jest ZAWSZE dodatni, więc zeruje się tylko $2x$ i $(x+3)$.

odpowiedź C ($\frac{x+1}{x+2}$). Droga: $\frac{x(x+1)}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}$ po skróceniu $x$ oraz jednego $(x+2)$.

• 2 pkt — poprawna metoda i wynik 735 000 zł.
• 1 pkt — zapisanie modelu: układ $x+y=1200000$ oraz $0{,}13x+0{,}11y=146700$, ALBO równanie z jedną niewiadomą, np. $0{,}13x+0{,}11\cdot(1200000-x)=146700$ czy skrót $0{,}02x=14700$.
• Uwaga CKE 1: sprawdzanie par liczb i wskazanie odpowiedzi bez wykazania jedyności → 1 pkt. Uwaga 2: wartości przybliżone dające wynik ≠ 735 000 → co najwyżej 1 pkt.

• 2 pkt — poprawna metoda i zbiór rozwiązań $x\in\left(\frac13,\frac32\right)$ (albo poprawny rysunek z zaznaczonymi końcami przedziału).
• 1 pkt — obliczenie pierwiastków trójmianu $6x^2-11x+3$: $x_1=\frac13$, $x_2=\frac32$.
• Uwaga CKE 4: poprawny rysunek, ale zapisany zły przedział (np. domknięty $\left[\frac13,\frac32\right]$) → 1 pkt.
• Uwaga CKE 2 (zerująca): wyznaczanie pierwiastków przy błędnie policzonym UJEMNYM wyróżniku → 0 pkt. Uwaga 3 (zerująca): rozpatrywanie innego trójmianu niż wynikający z przekształcenia (np. samego $3(2x^2+1)<0$) → 0 pkt.

• 1. Dziedzina: $[-4,4)$
• 2. Zbiór wartości: $(-3,3]$
• 3. Argumenty, dla których $f(x)>0$: $[-4,3)$
• 4. Rozwiązania równania $f(x)=3$: $[-2,2]$
• Punktacja: 4/3/2/1 pkt za odpowiednio cztery/trzy/dwa/jedno poprawne zdanie.
• Kryterium dyskalkulii: pomylony porządek liczb przy zachowanych krańcach (np. $(4,-4]$) → 1 pkt za to zdanie.

• 12.1 (0–2) — $f(x)=-\tfrac13(x-3)^2+6$. 1 pkt za: zapis $f(x)=a(x-3)^2+6$, ALBO równanie na $a$ (np. $3=a(0-3)^2+6$), ALBO obliczenie $a=-\tfrac13$. Uwaga CKE 1: podanie gotowego wzoru bez obliczenia/uzasadnienia $a$ → 1 pkt.
• 12.2 (0–1) — odpowiedź A ($x=3$).
• 12.3 (0–1) — $x_1+x_2=6$ (miejsca zerowe $g(x)=f(x)-3$ są symetryczne względem osi $x=3$, więc suma $=2\cdot3$; wprost: $0$ i $6$).

odpowiedź C ($m=3$). Dla $m=3$ współczynnik kierunkowy znika i zostaje funkcja stała $f(x)=-4$, której wykres (prosta pozioma poniżej osi) nigdy nie przecina osi $Ox$.

• 14.1 — odpowiedź D (11). Kolejno: $a_1=2$, $a_2=2\cdot 2+1=5$, $a_3=2\cdot 5+1=11$.
• 14.2 — FF — ciąg nie jest ani arytmetyczny ($5-2=3$, ale $11-5=6$), ani geometryczny ($\frac52\ne\frac{11}{5}$). Punkt tylko za obie poprawne oceny.

• 3 pkt — obliczenie oraz uzasadnienie, że jedyną szukaną wartością jest $m=\frac52$.
• 2 pkt — wyznaczenie obu wartości, dla których ciąg jest arytmetyczny ($m=-2$ oraz $m=\frac52$), bez rozstrzygnięcia która daje ciąg malejący.
• 1 pkt — zapisanie równania z jedną niewiadomą (np. $\frac{2m+11+5-m}{2}=m^2+3$) albo rozwiązanie co najmniej jednej z nierówności monotoniczności.
• Uwaga CKE 3: samo podanie $m=\frac52$ bez rachunku → 0 pkt; ze sprawdzeniem, ale bez wykazania jedyności → 1 pkt. Uwaga 4: obie wartości + stwierdzenie, że dla $m=-2$ ciąg nie jest malejący → 3 pkt. Uwaga 5: obie wartości + wypisane wyrazy, ale bez wskazania jedynej szukanej → 2 pkt.

odpowiedź B (1). Iloraz $q=\frac{9}{27}=\frac13$, więc $a_3=3$ i $a_4=1$ (albo ze wzoru $a_4=27\cdot\left(\frac13\right)^3=1$).

odpowiedź C ($\frac{\sqrt3}{2}$). Podstawiamy $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$; kąt ostry → $\sin\alpha\ne 0$, więc dzielimy obie strony przez $\sin\alpha$ i zostaje $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$.

• 18.1
  • odpowiedź D ($\tfrac43$). $D$ jest środkiem $AB$, więc $|AD|=3$
  • z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ADC$: $|AC|=\sqrt{25-9}=4$
  • stąd $\operatorname{tg}\alpha=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac43$
• 18.2 — odpowiedź A ($\tfrac{2}{\sqrt{13}}$). $|BC|=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$, więc $\sin\beta=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{4}{2\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}$.

odpowiedź C ($40^\circ$). Kąt środkowy $AOB=2\cdot 50^\circ=100^\circ$; trójkąt $AOB$ jest równoramienny ($|OA|=|OB|=r$), więc kąty przy podstawie mają po $\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ$.

odpowiedź B ($2{,}25$). Z podobieństwa $ABC\sim BDA$: $\frac{|BD|}{|AB|}=\frac{|AB|}{|BC|}$, czyli $\frac{|BD|}{3}=\frac{3}{4}$, więc $|BD|=\frac94=2{,}25$.

odpowiedź FP. Stwierdzenie 1 FAŁSZ (z twierdzenia cosinusów $|AC|^2=121+144-132=133$, więc $|AC|=\sqrt{133}\ne 11$ i $\ne 12$); stwierdzenie 2 PRAWDA ($P=\frac12\cdot 11\cdot 12\cdot\sin 60^\circ=33\sqrt3$).

odpowiedź C (10). $|AS|=\sqrt{(4-1)^2+(-1-3)^2}=5$; punkt $S$ to środek przekątnej, więc przekątna ma długość $2\cdot 5=10$.

odpowiedź B ($m=-2$). Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: $m-2=-4$, czyli $m=-2$.

odpowiedź B ($(x-2)^2+(y-4)^2=20$). Środek $(2,4)$ daje nawiasy $(x-2)$ i $(y-4)$; promień to $|SP|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$, a po prawej stronie stoi $r^2=20$.

• 3 pkt — poprawna metoda i wynik $V=64\pi$.
• 2 pkt — $r=4\sqrt3$ oraz $H=4$ (albo $r^2=48$ i $H=4$; albo jedno z nich plus objętość wyrażona przez tę zmienną).
• 1 pkt — samo $r=4\sqrt3$ ALBO samo $H=4$ ALBO $r^2=48$ ALBO zapisanie układu pozwalającego je obliczyć (np. $\tfrac{r}{8}=\sin 60^\circ$ i $\tfrac{H}{8}=\cos 60^\circ$).
• Uwaga CKE 1 (zerująca): przyjęcie, że trójkąt $SOB$ jest równoboczny, albo że $H=8$, albo że $r=8$ → 0 punktów za całe rozwiązanie.
• Uwaga CKE 2: pojedynczy błąd z listy a–f (m.in. zła definicja funkcji trygonometrycznej, błąd w tw. Pitagorasa, zamiana $r=4$ i $H=4\sqrt3$, potraktowanie 120° jako kąta wycinka koła) przy konsekwentnym dokończeniu → co najwyżej 1 pkt.

odpowiedź A ($9\sqrt3$). $a^3=729$ daje $a=9$; przekątna sześcianu to $a\sqrt3=9\sqrt3$.

odpowiedź A (45). Zero może stać TYLKO na środku (setki $\ne 0$, jedności nieparzyste): $9$ cyfr setek $\times\ 1 \times 5$ cyfr jedności $=45$.

odpowiedź D ($\frac{2}{36}$). Sumę 11 dają tylko dwa wyniki uporządkowane: $(5,6)$ i $(6,5)$, a wszystkich wyników jest $36$.

odpowiedź C (6). Średnia 3 przy siedmiu liczbach daje sumę $21$; znane pięć liczb sumuje się do $15$, więc $x+y=6$.

• Mediana: $4{,}5$ — 24 uczniów, więc mediana to średnia 12. i 13. oceny w uporządkowanym ciągu; liczby uczniów to $1,3,4,4,5,7$, więc 12. ocena to $4$, a 13. to $5$.
• Dominanta: $6$ — najczęstsza ocena (7 uczniów).
• Uwaga CKE: nie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników.

• 4 pkt — $P(x)=-2x^2+22x+88$ oraz $D=(0,11)$ oraz $x=\frac{11}{2}$.
• 3 pkt — wzór + dziedzina (bez argumentu), albo wzór + poprawny argument (bez dziedziny).
• 2 pkt — sam poprawny wzór, albo zależność $x+4+|BF|=15$ razem z dziedziną.
• 1 pkt — zależność $x+4+|BF|=15$, albo wzór $P=2(4x+x|BF|+4|BF|)$, albo sama dziedzina $x\in(0,11)$.
• Uwaga CKE 1: sam zakres $x\in(0,11)$ + odpowiedź $\frac{11}{2}$ bez wzoru → 1 pkt; sama odpowiedź $\frac{11}{2}$ → 0 pkt. Uwaga 2: liczenie pól dla wybranych długości bez funkcji → 0 pkt (poza ewentualnym punktem za zależność krawędzi).