Matematyka, poziom rozszerzony — czerwiec 2024 (termin dodatkowy)

$120$ s. $b=\lim_{t\to\infty}m(t)=\frac19m_0$, $a+b=m_0$ → $a=\frac89m_0$; pozostało $\frac18m_0$: $\frac18m_0=\frac89m_0\cdot2^{-0{,}05t}+\frac19m_0$ → $2^{-0{,}05t}=2^{-6}$ → $t=120$

• Punktacja: 2 pkt poprawna metoda i wynik $120$ s
• Punktacja: 1 pkt $b=\frac19m_0$ ALBO $a+b=m_0$.

$-\frac16$. Dla $x\in(-3,3)$: $\frac{|x-3|}{x^2-9}=\frac{-(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{-1}{x+3}$ → granica $-\frac16$

• Punktacja: 2 pkt metoda i wynik
• Punktacja: 1 pkt postać $\frac{-1}{x+3}$ dla $x\in(-3,3)$ ALBO $\left|\frac{|x-3|}{x^2-9}+\frac16\right|=\frac16\left|\frac{x-3}{x+3}\right|$ dla $x\in(-3,3)$.

$x_0=7$, $y=-x+12$. $5=\frac{2x_0+1}{x_0-4}$ → $x_0=7$; $f'(x)=\frac{2(x-4)-(2x+1)}{(x-4)^2}=\frac{-9}{(x-4)^2}$, $f'(7)=-1$

• Punktacja: 3 pkt oba wyniki
• Punktacja: 2 pkt $x_0=7$ i pochodna
• Punktacja: 1 pkt $x_0=7$ ALBO pochodna.
• Uwaga: błędny wzór na pochodną ilorazu → najwyżej 1 pkt.

$\frac1{15}$. $|B|=\binom{10}3=120$, $|A\cap B|=8$, $P(A|B)=\frac{8}{120}$

• Punktacja: 3 pkt wynik
• Punktacja: 2 pkt $|A\cap B|=8$ i $|B|=\binom{10}3$ ALBO $P(A\cap B)=\frac8{2^{10}}$ i $P(B)=\frac{\binom{10}3}{2^{10}}$
• Punktacja: 1 pkt jedna z tych czterech wielkości.

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i skorzystaniu z $b=1-a$: $4a^2-4a+1\ge0$ ⇔ $(2a-1)^2\ge0$ (albo $(a-b)^2\ge0$; albo nierówność średnich harmonicznej i arytmetycznej dla $\frac1{2a+b}$, $\frac1{a+2b}$)

• Punktacja: 3 pkt pełne rozumowanie
• Punktacja: 2 pkt postać $4a^2-4a+1\ge0$, $4b^2-4b+1\ge0$ albo $a^2-2ab+b^2\ge0$ ALBO nierówność średnich przekształcona do postaci dającej tezę
• Punktacja: 1 pkt nierówność wymierna $\frac{P(a,b)}{Q(a,b)}\ge0$ ALBO wielomianowa ALBO zapisana nierówność średnich ALBO nierówność wymierna z jedną niewiadomą.

$c=\frac{a+b}2$ (okrąg wpisany), $\left(\frac{a-b}2\right)^2+h^2=\left(\frac{a+b}2\right)^2$ → $h=\sqrt{ab}$, $P=\frac{a+b}2\cdot\sqrt{ab}>\sqrt{ab}\cdot\sqrt{ab}=ab$, bo $\frac{a+b}2>\sqrt{ab}$ dla $a\ne b$

• Punktacja: 3 pkt pełne rozumowanie
• Punktacja: 2 pkt $P=\frac{a+b}2\cdot\sqrt{ab}$
• Punktacja: 1 pkt równanie Pitagorasa z $a$, $b$, $h$ ALBO $r=\sqrt{\frac a2\cdot\frac b2}$ ALBO pole czworokąta dwuśrodkowego $=\sqrt{abcd}$ ALBO wysokość = średnia geometryczna podstaw.
• Uwaga: $\frac{a+b}2>\sqrt{ab}$ z nierówności średnich dla różnych dodatnich $a$, $b$ = rozumowanie pełne.

$a_n=12\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}$. $a_1+a_1q^2=\frac52a_1q$ → $q\in\left{\frac12,2\right}$; wyrazy nieparzyste: ciąg o ilorazie $q^2$, $|q^2|<1$ → $q=\frac12$, $\frac{a_1}{1-q^2}=16$ → $a_1=12$

• Punktacja: 4 pkt wynik
• Punktacja: 3 pkt odrzucone $q=2$ i $\frac{a_1}{1-\left(\frac12\right)^2}=16$ (I) ALBO równanie z $q$ z pierwiastkami $\pm1$, $\frac12$, $2$ i odrzucenie niespełniających $|q^2|<1$ (II)
• Punktacja: 2 pkt $2q^2-5q+2=0$ i $q\in\left{\frac12,2\right}$ (I) ALBO oba równania (II)
• Punktacja: 1 pkt jedno z równań. Uwagi: suma nieparzystych jako $\frac{a_1}{1-q}$ konsekwentnie → 3 pkt; ciąg geometryczny pomylony z arytmetycznym → 0 pkt.

$\sqrt{21}-3$ (lub $\sqrt{30-6\sqrt{21}}$). $\frac{4\sqrt3}{\sin|\angle BAC|}=8$ → $60^\circ$ lub $120^\circ$; $BC$ najdłuższy → $120^\circ$; tw. cosinusów: $|AC|^2+6|AC|-12=0$

• Punktacja: 4 pkt wynik
• Punktacja: 3 pkt równanie z niewiadomą $|AC|$ ALBO boki $ACE$ przez $x$ i równanie $\left(4\sqrt3-\sqrt7x\right)^2+(3x)^2=36$ ALBO $\sin|\angle ABC|=\frac{\sqrt{21}-3}8$
• Punktacja: 2 pkt $|\angle BAC|=120^\circ$ ALBO boki $ACE$: $3x$, $4x$, $\sqrt7x$ ALBO $\cos|\angle ACB|=\frac{\sqrt7}4$
• Punktacja: 1 pkt równanie z jedyną niewiadomą: miarą kąta $BAC$ lub $ACB$.
• Uwaga: $60^\circ$ i $120^\circ$ bez odrzucenia $3+\sqrt{21}$ → najwyżej 3 pkt.

$x=\frac{k\pi}5$ lub $x=-\frac56\pi+2k\pi$ lub $x=\frac56\pi+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$. $\sin6x+\sin4x=2\sin5x\cos x$ → $\sin5x,(2\cos x+\sqrt3)=0$

• Punktacja: 4 pkt wynik
• Punktacja: 3 pkt rozwiązane $\sin5x=0$ ALBO $\cos x=-\frac{\sqrt3}2$ w ℝ
• Punktacja: 2 pkt alternatywa $\sin5x=0$ lub $\cos x=-\frac{\sqrt3}2$
• Punktacja: 1 pkt rozpisanie sinusa sumy i różnicy ALBO wzór na sumę sinusów.

$\frac{\sqrt3a^2}2+3\sqrt2a^2$. $\cos\alpha=\frac56$ (kąt ostry); tw. cosinusów w $ABF$: $2(H^2+a^2)-2(H^2+a^2)\cdot\frac56=a^2$ → $H=a\sqrt2$

• Punktacja: 4 pkt wynik
• Punktacja: 3 pkt $H=a\sqrt2$
• Punktacja: 2 pkt równanie z jedną niewiadomą $H$
• Punktacja: 1 pkt $\cos\alpha=\frac56$ ALBO tw. cosinusów w $ABF$.

$|BC|=2\sqrt{13}$. Etap I (2 pkt): $x^2+x-6=0$ → $A=(-3,7)$, $B=(2,-8)$

• Punktacja: 1 pkt równanie z jedną niewiadomą. Etap II (3 pkt): $C=\left(c,-\frac12c+1\right)$ (1 pkt), $\frac{|2{,}5c+3|}{\sqrt{10}}=\frac{9\sqrt{10}}5$ (2 pkt), $c=6$, $C=(6,-2)$ (3 pkt). Etap III (1 pkt): $|BC|=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}$.

$m\in\left{1,\frac{-3-2\sqrt{42}}3\right}$. Etap I (1 pkt): $\Delta=(m+1)^2(13-4m)>0$ → $m\in(-\infty,-1)\cup\left(-1,\frac{13}4\right)$ ($\Delta\ge0$ → 0 pkt). Etap II (4 pkt): $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=x_1x_2+7$ (1) → równanie z $m$ z wzorów Viète'a (2) → $-3m^3-3m^2+59m-53=0$, pierwiastek $m=1$ i dzielenie albo grupowanie (3) → $m\in\left{1,\frac{-3\pm2\sqrt{42}}3\right}$ (4). Etap III (1 pkt): warunek $3-m\ne0$ i część wspólna.

• 13.1 (0–2) — $a=R\sqrt3$, $P_p=\frac{(R\sqrt3)^2\sqrt3}4=\frac{3\sqrt3R^2}4$, $H=6-R$, $V=\frac13P_pH=\frac{\sqrt3}4(6R^2-R^3)$
  • Punktacja: 2 pkt pełne rozumowanie
  • Punktacja: 1 pkt $P_p$ przez $R$. 13.2 (0–4): $V'(R)=\frac{\sqrt3}4(12R-3R^2)$, $R=4$, $V$ rośnie na $(0,4]$, maleje na $[4,6)$, $V(4)=8\sqrt3$ (albo nierówność średnich dla $R$, $R$, $12-2R$).
  • Punktacja: 4 pkt uzasadnione maksimum i $8\sqrt3$
  • Punktacja: 3 pkt uzasadnione maksimum ALBO nierówność średnich do postaci $\frac{\sqrt3}8\cdot64\ge V(R)$ z warunkiem równości
  • Punktacja: 2 pkt $R=4$ ALBO nierówność średnich przekształcona
  • Punktacja: 1 pkt pochodna ALBO nierówność średnich zapisana. Uwagi: uzasadnienie niepełne i $V(4)=8\sqrt3$ → 3 pkt; brak uzasadnienia i $V(4)=8\sqrt3$ → najwyżej 2 pkt.