Matematyka, poziom rozszerzony — maj 2024

$59$ °C. $65=(80-20)\cdot k^{-10}+20$ → $k^{-10}=\frac{45}{60}=\frac34$; $T(15)=60\cdot\left(k^{-10}\right)^{1{,}5}+20=\frac{45\sqrt3}2+20\approx59$

• Punktacja: 2 pkt poprawna metoda i wynik zaokrąglony do jedności $59$ °C
• Punktacja: 1 pkt obliczenie $k^{-10}=\frac{45}{60}$.

$-\infty$. $\frac{x^3-8}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)^2}=\frac{x^2+2x+4}{x-2}$ dla $x\ne2$; licznik dąży do $12$, mianownik do $0^-$

• Punktacja: 2 pkt poprawna metoda i wynik $-\infty$
• Punktacja: 1 pkt postać $\frac{x^2+2x+4}{x-2}$ (lub $x+4+\frac{12}{x-2}$) ALBO równość $\lim_{x\to2^-}\frac{x^3-8}{(x-2)^2}=\lim_{x\to2^-}\frac{3x^2}{2x-4}$.

$\approx0{,}996$. $p=0{,}01$, $q=0{,}99$; $P=\binom{10}0\cdot0{,}99^{10}+\binom{10}1\cdot0{,}01\cdot0{,}99^9=0{,}99^9\cdot1{,}09\approx0{,}996$

• Punktacja: 3 pkt wynik
• Punktacja: 2 pkt poprawne $P$ jako suma
• Punktacja: 1 pkt $p=0{,}01$ i $q=0{,}99$ ALBO postać $q^{10}+10pq^9$ ALBO odpowiedni fragment drzewa. Uwagi: $P(S_{10}^0)$ i $P(S_{10}^1)$ zapisane, ale bez dodania → najwyżej 1 pkt; $p=0{,}1$ i $q=0{,}9$ (albo $p=0{,}01$ i $q=0{,}9$) konsekwentnie do końca → 2 pkt; $p=0{,}99$ i $q=0{,}01$ konsekwentnie, ale z błędną interpretacją wyniku → 1 pkt.

$a=\frac72$, $b=-5$. $f'(x)=\frac{(3x^2-3)\cdot x-(x^3-3x+2)\cdot1}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}$ (albo $f(x)=x^2-3+\frac2x$, $f'(x)=2x-\frac2{x^2}$); $a=f'(2)=\frac72$; $f(2)=2$ → $2=\frac72\cdot2+b$ → $b=-5$

• Punktacja: 3 pkt oba współczynniki
• Punktacja: 2 pkt $a=f'(2)=\frac72$
• Punktacja: 1 pkt pochodna.
• Uwaga: błędnie zastosowany wzór na pochodną ilorazu albo błędna pochodna $x^3-3x+2$ lub $x$ → najwyżej 1 pkt (o ile $a$ i $b$ obliczone bez błędu).

Np. $\log_{12}80=\frac{\log_480}{\log_412}=\frac{2+\log_45}{1+\log_43}$, $\log_45=\frac1{\log_54}=\frac1a$ → $\log_{12}80=\frac{2+\frac1a}{1+b}=\frac{2a+1}{a(1+b)}$

• Punktacja: 3 pkt pełne rozumowanie
• Punktacja: 2 pkt postać, z której jednokrotne zastosowanie wzoru (logarytm iloczynu, zamiana podstawy albo logarytm potęgi) i przekształcenia wymierne dają tezę, ALBO równanie $bx+x=\frac1a+2$ ALBO $5=4^{\frac1a}$ i $4=12^{\frac1{1+b}}$
• Punktacja: 1 pkt zastosowanie wzoru na zamianę podstawy lub logarytm iloczynu ALBO $5=4^{\frac1a}$, $3=4^b$ i równanie $12^x=80$ ALBO $4=12^{\frac1{1+b}}$.

$11,040$. Np. $L_1-L_2=\binom53\binom52\cdot5!-\binom53\binom41\cdot4!=12,000-960$ (albo $P+N=3840+7200$, albo $Z^++Z^-$)

• Punktacja: 3 pkt wynik
• Punktacja: 2 pkt jedna z części rozbicia wraz z postępem w drugiej
• Punktacja: 1 pkt jedna z liczb $L_1$, $L_2$, $P$, $N$, $Z^+$, $Z^-$ ALBO liczby zbiorów $\binom53\binom52$ i $\binom53\binom41$ ALBO po jednym przypadku z nieparzystą i z parzystą (różną od zera) na początku.
• Uwaga: rozpatrywanie liczb innych niż pięciocyfrowe → 0 pkt.

$x=5$, $y=20$, $z=80$. $y=x+r$, $z=x+5r$, $3x+6r=105$ → $x=35-2r$, $y=35-r$, $z=35+3r$; $y^2=xz$ → $(35-r)^2=(35-2r)(35+3r)$ → $7r^2-105r=0$ → $r=15$ ($r=0$ odpada: ciąg stały nie jest rosnący). Punktacja wg sposobu (I–II: 3 pkt równanie z $r$ albo $r=3x$; Punktacja: 2 pkt $x$, $y$, $z$ przez $r$ albo układ; Punktacja: 1 pkt jedno z równań; III i IV analogicznie). Uwagi: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą bez zapisu, że jest różne od zera → najwyżej 3 pkt; błąd nierachunkowy (np. $y-x=4(z-y)$) → najwyżej 2 pkt.

$a=|BC|$, $b=|CA|$, $c=|AB|$, teza $b^2=a^2+ac$. Np. dwusieczna $BD$ kąta $ABC$: $\triangle CBD\sim\triangle CAB$ → $\frac xa=\frac ab$ ($x=|DC|$); tw. o dwusiecznej $\frac{b-x}x=\frac ca$ → $x=\frac{ab}{a+c}$ → $b^2=a(a+c)$. Albo tw. sinusów $\cos\alpha=\frac b{2a}$ i tw. cosinusów. Punktacja 4/3/2/1 wg sposobu

• Uwaga: rozwiązanie z wysokością $CK$ i tylko jednym przypadkiem położenia $K$, bez stwierdzenia, że drugi jest analogiczny → najwyżej 3 pkt.

$P_{AGF}=\frac1{12}a^2$, $P_{CEFG}=\frac16a^2$. Np. $F$ = środek ciężkości trójkąta $ACD$ → $|FG|=\frac13|DG|$ → $P_{AGF}=\frac13P_{AGD}=\frac1{12}a^2$; $P_{CEFG}=P_{ACE}-P_{AGF}=\frac14a^2-\frac1{12}a^2$

• Punktacja: 4 pkt oba pola
• Punktacja: 3 pkt jedno pole
• Punktacja: 2 pkt długość jednego z odcinków $FG$, $DF$, $AF$, $FE$, $BF$ ALBO równe pola i związek pól ALBO układ równań na pola ALBO współrzędne $E$ i $F$ ALBO siatka $12\times12$ z polami $ABF$ i $ABG$
• Punktacja: 1 pkt stosunek $2:1$ z uzasadnieniem ALBO podobieństwo w odpowiedniej skali ALBO $|AG|$ i funkcja trygonometryczna kąta $EAC$ ALBO równe pola $AGF$ i $FDE$ ALBO równania prostych $AE$ i $BD$ ALBO siatka $12\times12$. Uwagi: stosunek inny niż $2:1$ → 0 pkt; $2:1$ bez uzasadnienia → najwyżej 3 pkt; kąt $DAE=30^\circ$ → 0 pkt (o ile brak innej punktacji).

$\frac\pi6$, $\frac\pi4$, $\frac{5\pi}6$, $\frac{7\pi}6$, $\frac{5\pi}4$, $\frac{11\pi}6$. $4\cos^2x-3=2\cos2x-1$, $\sin4x-\sin2x=\sin2x,(2\cos2x-1)$ → $(\sin2x-1)(2\cos2x-1)=0$

• Punktacja: 5 pkt komplet
• Punktacja: 4 pkt alternatywa i jedno równanie rozwiązane w $[0,2\pi]$ (albo oba w ℝ)
• Punktacja: 3 pkt równoważne przekształcenie do alternatywy albo iloczynu
• Punktacja: 2 pkt postać $\sin2x\cdot(2\cos2x-1)=2\cos2x-1$ (lub analogiczna)
• Punktacja:
  • 1 pkt wzór na sinus albo cosinus podwojonego kąta, albo różnicę sinusów. Uwagi: tylko błędy rachunkowe → najwyżej 4 pkt
  • błędna alternatywa z jednym z równań $\sin2x-1=0$, $2\cos2x-1=0$, $4\cos^2x-3=0$, $1-4\sin^2x=0$ rozwiązanym w $[0,2\pi]$ → najwyżej 3 pkt
  • dzielenie przez wyrażenie z $x$ bez rozważenia jego zerowania → najwyżej 3 pkt
  • jednokrotny błąd we wzorze trygonometrycznym → najwyżej 3 pkt

$S=(6,7)$ lub $S=(-4,-3)$. $15=2\cdot\frac12\cdot m\cdot\sqrt5$ → $m=|AB|=3\sqrt5$; $|AS|^2=m^2+5=50$; $S=(x_S,x_S+1)$: $(x_S-1)^2+(x_S+1-2)^2=50$ → $x_S=6$ lub $x_S=-4$

• Punktacja: 5 pkt oba punkty
• Punktacja: 4 pkt obie wartości $x_S$ ALBO jeden punkt w całości
• Punktacja: 3 pkt równanie z jedną niewiadomą (współrzędną $S$)
• Punktacja: 2 pkt $m=3\sqrt5$ ALBO $|AS|=5\sqrt2$
• Punktacja: 1 pkt $S=(x,x+1)$ ALBO równanie z niewiadomą $m$ ALBO układ trzech równań (tw. cosinusów i pola). Uwagi: pominięcie $\frac12$ we wzorze na pole = błąd rachunkowy; więcej niż dwa punkty $S$ → najwyżej 4 pkt.

$m\in(-\infty,-3)$. Etap I: $\Delta=m^2+2m-3>0$ → $m\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$. Etap II: $(x_1+x_2)^3-9x_1x_2\le3m-7$ → $(3m+1)^3-9(2m^2+m+1)\le3m-7$ → $27m^3+9m^2-3m-1\le0$ → $(3m-1)(3m+1)^2\le0$ → $m\le\frac13$. Etap III: $m\in(-\infty,-3)$

• Punktacja:
  • etap I 1 pkt ($\Delta\ge0$ → 0)
  • etap II 4 pkt (1: postać do wzorów Viète'a; 2: nierówność z $m$; 3: $W(m)\le0$ jako iloczyn albo $27m^3+\ldots\le0$ i jeden pierwiastek; 4: $m\le\frac13$)
  • etap III 1 pkt

• 13.1 (0–2) — $3456=\frac{a^2\sqrt3}4\cdot H$ → $H=\frac{4608\sqrt3}{a^2}$; $P=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}4+3aH=\frac{a^2\sqrt3}2+\frac{13824\sqrt3}a$
  • Punktacja: 2 pkt pełne rozumowanie
  • Punktacja:
    • 1 pkt $H$ przez $a$ (np. $H=\frac{13824}{a^2\sqrt3}$)
    • inna bryła albo rozumowanie tylko dla $a=8\sqrt3$ → 0. 13.2 (0–4): $P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}$, $P'(a)=0$ ⇔ $a=24\notin\left(0,8\sqrt3\right]$
    • $P'<0$ na $\left(0,8\sqrt3\right]$ → $P$ maleje → minimum w $a=8\sqrt3$: $P\left(8\sqrt3\right)=96\sqrt3+1728$
  • Punktacja: 4 pkt uzasadnione minimum w $8\sqrt3$ i wartość
  • Punktacja: 3 pkt uzasadnienie ALBO zapis, że minimum jest w $8\sqrt3$, i $P\left(8\sqrt3\right)$
  • Punktacja: 2 pkt $a=24$
  • Punktacja: 1 pkt pochodna