Matematyka, poziom rozszerzony — czerwiec 2025 (termin dodatkowy)

$P(A)\approx0{,}984$. $p=0{,}02$, $q=0{,}98$; $P=\binom{10}{0}0{,}98^{10}+\binom{10}{1}0{,}02\cdot0{,}98^9=0{,}98^9\cdot1{,}18$

• Punktacja: 3 pkt wynik
• Punktacja: 2 pkt poprawne $P$ jako suma dwóch składników
• Punktacja:
  • 1 pkt $p$ i $q$ ALBO $q^{10}+10pq^9$ ALBO fragment drzewa. Uwagi: oba składniki bez sumy → najwyżej 1 pkt
  • $p=0{,}2$, $q=0{,}8$ (lub $p=0{,}02$, $q=0{,}8$) konsekwentnie → 2 pkt
  • $p=0{,}98$, $q=0{,}02$ konsekwentnie, ale zła interpretacja wyniku → 1 pkt
  • brak jawnej definicji sukcesu przy poprawnej interpretacji → może być 3 pkt

$\log_2 7=a-1$, $\log_2 27=\frac b2$; $\log_7 54=\frac{\log_2 27+\log_2 2}{\log_2 14-\log_2 2}=\frac{\frac b2+1}{a-1}=\frac{b+2}{2a-2}$

• Punktacja: 3 pkt pełne rozumowanie
• Punktacja: 2 pkt postać, z której jednokrotne użycie wzoru (iloczyn, iloraz, potęga, zamiana podstawy) daje tezę ALBO $(a-1)x=\frac b2+1$ ALBO $2=7^{\frac1{a-1}}$ i $27=2^{\frac b2}$
• Punktacja: 1 pkt zastosowany wzór na zamianę podstawy, logarytm iloczynu lub ilorazu ALBO $7=2^{a-1}$, $27=2^{\frac b2}$ i $7^x=54$ ALBO $2=7^{\frac1{a-1}}$.

$368,586$. Iloczyn $\in{0,2,4}$: iloczyn $4$ — dwie dwójki i cztery jedynki ($\binom62=15$) albo czwórka i pięć jedynek ($6$), razem $21$; iloczyn $2$ — dwójka i pięć jedynek ($6$); iloczyn $0$ — $9\cdot10^5-9^6=368,559$. Suma $368,586$

• Punktacja: 3 pkt wynik
• Punktacja: 2 pkt $21$, $6$ i $368,559$
• Punktacja: 1 pkt $21$ i $6$ ALBO $368,559$ ALBO wypisane wszystkie przypadki.

$MDN\sim KBL$ (kąty naprzemianległe, $MN\parallel KL$); $ML\parallel DB$ → (Tales) $|LB|=\frac12|DM|$; $MDN\sim BCD$ → $|DN|=2|DM|$; stąd $|LB|=\frac14|DN|$, skala $4$, stosunek pól $16$

• Punktacja: 3 pkt pełne rozumowanie
• Punktacja: 2 pkt $|LB|$ (lub $|CL|$) przez $|DM|$ i podobieństwo $MDN\sim KBL$ ALBO podobieństwo i $|DE|$, $|FL|$ przez jedną zmienną ALBO współrzędne $K$, $L$, $M$, $N$ przez $a$ i $c$
• Punktacja: 1 pkt podobieństwo ALBO $|LB|=\frac12|DM|$ ALBO $|DE|$ i $|FL|$ przez jedną zmienną ALBO układ współrzędnych z równaniem prostej $ML$.

$m=2$. $\Delta=4(m-1)^2>0$ ⇔ $m\ne1$; $x_1+x_2=-2m$, $x_1x_2=2m-1$; $m[(-2m)^2-2(2m-1)]=3m(2m-1)+2$ → $4m^3-10m^2+5m-2=0$ → $(m-2)(4m^2-2m+1)=0$ → $m=2$. 4 pkt: warunek rozwiązany ($m=2$), $\Delta>0$ rozwiązany (lub $x_1\ne x_2$ dla $m\ne1$, lub sprawdzenie $m=2$) i odpowiedź

• Punktacja: 3 pkt $\Delta$ i równanie z niewiadomą $m$ ALBO warunek rozwiązany ALBO $m\ne1$ i równanie
• Punktacja: 2 pkt $\Delta$ i postać Viète'a ALBO równanie z niewiadomą $m$ ALBO pierwiastki $-1$, $1-2m$ i $m\ne1$
• Punktacja: 1 pkt $\Delta$ ALBO postać Viète'a ALBO pierwiastki $-1$, $1-2m$.
• Uwaga: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2$ konsekwentnie → 2 pkt.

$x\in\left{\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi2,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}6\right}$. $\cos2x+\cos4x=2\cos3x\cos x$ → $2\cos3x(\cos x+\cos3x)=0$ → $\cos3x=0$ ∨ $2\cos2x\cos x=0$

• Punktacja: 4 pkt wszystkie rozwiązania
• Punktacja: 3 pkt rozwiązanie w $\mathbb{R}$ ALBO kryterium za 2 pkt i jedno z równań składowych rozwiązane w $[0,\pi]$
• Punktacja: 2 pkt alternatywa z $\cos3x=0$ ALBO $\cos3x=0$ ∨ $\cos2x=0$ ∨ $\cos x=0$
• Punktacja: 1 pkt $2\cos3x\cos x+2\cos^2 3x=0$.

$R=\frac{7\sqrt3}3$. Tw. cosinusów dla $BD$ w $ABD$ i $BCD$ z $\gamma=180^\circ-\alpha$: $73-48\cos\alpha=34+30\cos\alpha$ → $\cos\alpha=\frac12$, $d=7$; tw. sinusów $\frac{7}{\sin60^\circ}=2R$

• Punktacja: 3 pkt przekątna ($d=7$ lub $|AC|=\frac{39}7$) ALBO cosinus kąta czworokąta ($\frac12$, $-\frac12$, $-\frac{71}{98}$, $\frac{71}{98}$) ALBO $\cos\delta=\frac{13}{14}$
• Punktacja: 2 pkt dwa tw. cosinusów z jednym kątem ALBO $e^2=89-80(2\cos^2\delta-1)$ i $\frac{e/2}3=\cos\delta$ ALBO trójkąt $ABC'$ równoboczny
• Punktacja: 1 pkt tw. cosinusów i suma kątów $180^\circ$ ALBO dwa tw. cosinusów ALBO $e^2=89-80\cos|\angle ADC|$ i $|\angle ADC|=2\delta$ ALBO $BD$ dwusieczną i $C'$ na $AD$.

$f(x)=x^3+3x^2+3x+2=(x+2)(x^2+x+1)$. Styczna przez $(-2,0)$ i $(1,9)$ ma współczynnik $3$, więc $f'(-2)=3$; $b=4a-9$, $c=4a-10$, $f(1)=9$ → $a=3$, $b=3$, $c=2$

• Punktacja: 3 pkt równanie z niewiadomą $a$ ALBO układ dwóch równań z $d$, $e$ (lub dwiema z $a$, $b$, $c$) ALBO $g(x)=3(x+2)$, $h(-2)=h'(-2)=0$ i $h=(x+k)(x+2)^2$ ALBO $h=(x-1)(x+2)^2$
• Punktacja: 2 pkt $b$, $c$ przez $a$ ALBO jedno równanie z $d$, $e$ ALBO układ trzech równań ALBO współczynnik $3$ i $b=a$ ALBO współczynnik $3$ i $h(-2)=h'(-2)=0$ ALBO $h(-2)=h'(-2)=0$ i postać $h$
• Punktacja: 1 pkt współczynnik $3$ ALBO $f=(x+2)(x^2+dx+e)$ ALBO dwa równania z $f(-2)=0$, $f(1)=9$ ALBO $h(-2)=h'(-2)=0$.

$S=\frac{245}4$. $15+9r=(15-3r)(9+2r)$ → $r^2+r-20=0$ → $r=4$ (ciąg rosnący); $b_1=a_{11}=35$, $b_2=15$, $q=\frac37$; $S=\frac{35}{1-\frac37}$

• Punktacja: 5 pkt wynik
• Punktacja: 4 pkt $b_1=35$ i $q=\frac37$
• Punktacja: 3 pkt $r=4$ i odrzucone $r=-5$
• Punktacja: 2 pkt równanie z jedną niewiadomą
• Punktacja: 1 pkt układ dwóch równań z $a_1$, $r$. Uwagi: $r=-5$ można odrzucić bez komentarza; nieodrzucone $q=-\frac32$ i wzór na sumę dla niego → najwyżej 3 pkt.

• Stosunek $6$. $|CE|=3x$, $|ED|=11x$, $|CD|=14x$
• Pitagoras w $BED$: $|BE|=5\sqrt3x$
• w $BCE$: $|BC|=2\sqrt{21}x$
• $P_b=3\cdot\frac12\cdot14x\cdot5\sqrt3x=105\sqrt3x^2$, $P_p=21\sqrt3x^2$
• $\frac{126}{21}=6$
• Punktacja: 5 pkt wynik
• Punktacja: 4 pkt cztery z wielkości 1)–4) ALBO $P_c=126\sqrt3x^2$
• Punktacja: 3 pkt trzy
• Punktacja: 2 pkt dwie
• Punktacja: 1 pkt jedna: 1) wysokość ściany ($|BE|=5\sqrt3x$ lub $|DF|=5\sqrt7x$), 2) $|BC|=2\sqrt{21}x$, 3) $P_p=21\sqrt3x^2$, 4) pole ściany $35\sqrt3x^2$ (lub boczne $105\sqrt3x^2$).

$(x+1)^2+(y+2)^2=5$. $B=(4,-7)$, $C=(-1,3)$; $AB$: $y=-\frac12x-5$, $BC$: $y=-2x+1$; dwusieczna kąta $ABC$: $y=-x-3$; $S=(x_S,-x_S-3)$; $x_S^2+(x_S+3)^2=\frac{(x_S-4)^2}{5}$ → $9x_S^2+38x_S+29=0$ → $x_S=-1$ ($-\frac{29}9$ odpada, bo $y_S>0$)

• Punktacja: 6 pkt wynik
• Punktacja: 5 pkt równanie z jedną niewiadomą
• Punktacja: 4 pkt dwusieczna ALBO $S=(x_S,-x_S-3)$
• Punktacja: 3 pkt $E=(-2,5)$ ALBO $P_1$, $P_2$ z $|BP_1|=|BP_2|$ ALBO $\operatorname{tg}\alpha=\frac13$ ALBO równość odległości od prostych
• Punktacja: 2 pkt prosta $BC$ i $|AB|=\sqrt{180}$ ALBO prosta $AB$ i $|BC|=\sqrt{125}$ ALBO współczynniki $-\frac12$ i $-2$ ALBO równania $AB$ i $BC$
• Punktacja: 1 pkt $B$ ALBO $C$. (W zasadach CKE przy $|BC|$ stoi $\sqrt{75}$ — literówka; poprawnie $|BC|=\sqrt{125}=5\sqrt5$.)

• 12.1 (0–2) — $24\sqrt3=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}4+3aH$ → $H=\frac{48\sqrt3-a^2\sqrt3}{6a}$ → $V=\frac{a^2\sqrt3}4H=6a-\frac18a^3$
  • Punktacja: 2 pkt pełne rozumowanie
  • Punktacja: 1 pkt $H$ w zależności od $a$. 12.2 (0–4): $V'(a)=6-\frac38a^2$, $a=4$, $V$ rośnie na $(0,4]$, maleje na $[4,4\sqrt3)$, $V(4)=16$.
  • Punktacja: 4 pkt uzasadnione maksimum i $V(4)=16$
  • Punktacja: 3 pkt uzasadnione maksimum
  • Punktacja: 2 pkt $a=4$
  • Punktacja: 1 pkt pochodna. Uwagi: uzasadnienie niepełne → najwyżej 3 pkt (pochodna, miejsce zerowe, $a$ i $V$); brak uzasadnienia istnienia największej wartości → najwyżej 2 pkt (pochodna, miejsce zerowe).