Matematyka, poziom rozszerzony — czerwiec 2026 (termin dodatkowy)

$\frac{a}{2b}=3^{-3}$. $a=4^{\log_4 36-4\log_4 3}=4^{\log_4\frac{36}{81}}=\frac{36}{81}$; $b=\frac{\log_3 9}{\log_3 2}\cdot\log_3 5\cdot\frac{\log_3 8}{\log_3 5}=6$; $\frac{36}{81}:12=\frac{1}{27}$. 2 pkt: metoda + wynik; 1 pkt: poprawnie obliczone $a$ ALBO poprawnie obliczone $b$.

$33,600=\binom{8}{3}\binom{5}{2}\cdot5\cdot4\cdot3$

• Punktacja: 3 pkt wynik
• Punktacja: 2 pkt poprawne wyrażenie na liczbę kodów (np. $\binom83\binom52\cdot5\cdot4\cdot3$ lub $\binom82\binom63\cdot5\cdot4\cdot3$)
• Punktacja: 1 pkt ustawienia czwórek i ósemek ($\binom83$ oraz $\binom52$ lub $\binom82$ oraz $\binom63$) ALBO ustawienia z cyframi nieparzystymi $\binom83\cdot5\cdot4\cdot3$.

$a=2$. $f'(x)=\frac{(2ax+1)(x-1)-(ax^2+x)}{(x-1)^2}=\frac{ax^2-2ax-1}{(x-1)^2}$; warunek $f'(a)=-\frac12a$ daje $3a^3-6a^2+a-2=0$, czyli $(3a^2+1)(a-2)=0$

• Punktacja: 3 pkt wynik
• Punktacja: 2 pkt równanie z jedną niewiadomą $a$
• Punktacja: 1 pkt pochodna $f$.

• Zadanie za $3$ punkty (dowód). Każda z trzech dróg CKE jest pełnoprawna.
• Sposób I: mnożymy obie strony przez $2$: $2xy+2x+2y\le2x^2+2y^2+2$, czyli $0\le(x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2$. Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, a przekształcenia były równoważne, więc teza zachodzi dla wszystkich $x,y$.
• Sposób II: $0\le x^2-(y+1)x+(y^2-y+1)$ jako trójmian zmiennej $x$. $\Delta=(y+1)^2-4(y^2-y+1)=-3y^2+6y-3=-3(y-1)^2\le0$, a współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc trójmian przyjmuje tylko wartości nieujemne.
• Sposób III: $0\le(x-y)^2+(x-1)(y-1)=(x-1)^2-(x-1)(y-1)+(y-1)^2$; z $a=x-1$, $b=y-1$: $a^2-ab+b^2=\left(a-\frac12b\right)^2+\frac34b^2\ge0$.
• Punktacja: $3$ pkt poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie z wnioskiem; $2$ pkt postać, z której można bezpośrednio wnioskować (I: suma trzech kwadratów; II: wyróżnik w postaci pozwalającej ocenić znak ORAZ jego analiza; III: $0\le(x-1)^2-(x-1)(y-1)+(y-1)^2$); $1$ pkt pierwszy krok (I: pomnożenie przez $2$ i postać z co najmniej jednym z kwadratów $(x-y)^2$, $(x-1)^2$, $(y-1)^2$; II: uporządkowany trójmian i wyznaczony wyróżnik $\Delta=-3y^2+6y-3$; III: postać $0\le[(x-1)-(y-1)]^2+(x-1)(y-1)$).
• Sprawdzenie nierówności dla kilku par liczb NIE jest dowodem ($0$ pkt).

• Sposób I: symetria względem $CD$ daje $|\angle KAC|=|\angle KBC|=|\angle KBL|$
• kąty proste przy $D$ i $L$ → na $DBLK$ można opisać okrąg
• kąty wpisane $KDL$ i $KBL$ na łuku $KL$ → równe. Sposób II: okręgi na $MDLC$ i $MAKC$ ($M$ = przecięcie $p$ z prostą $AB$)
• Punktacja: 3 pkt pełne
• Punktacja: 2 pkt dwa z trzech kroków (I: symetria + okrąg na $DBLK$ albo okrąg + równość kątów wpisanych; II: okrąg na $MDLC$ + $|\angle CML|=|\angle CDL|$, okrąg na $MAKC$ + $|\angle CMK|=|\angle CAK|$ albo oba okręgi)
• Punktacja: 1 pkt jeden krok.

$P(A_1|B)=\frac{5}{29}$. $P(A_1)=\frac29$, $P(A_2)=\frac39$, $P(A_3)=\frac49$; $P(B|A_i)=\frac{10}{100},\frac{12}{100},\frac{15}{100}$; $P(B)=\frac{116}{900}$. Sposób I: 1 pkt jeden z zestawów prawdopodobieństw

• Punktacja: 2 pkt oba
• Punktacja: 3 pkt $P(B)$
• Punktacja: 4 pkt wynik. Sposób II (liczby bochenków $2n,3n,4n$; razowe $0{,}2n$, łącznie $1{,}16n$): 1 pkt $2n,3n,4n$
• Punktacja: 2 pkt $P(A_1\cap B)$ albo $P(B)$ albo liczby z $0{,}2n$
• Punktacja: 3 pkt $P(A_1\cap B)$ i $P(B)$ albo $0{,}2n$ i $1{,}16n$
• Punktacja: 4 pkt wynik.

$a_n=7\cdot\left(\frac12\right)^{n-1}$. $\frac{a_1}{1-q}=14$, $|q|<1$, stąd $a_1=14(1-q)$; szereg sześcianów ma iloraz $q^3$: $\frac{a_1^3}{1-q^3}=392$ → $6q^2-15q+6=0$ → $q=\frac12$ lub $q=2$ (odrzucone)

• Punktacja: 4 pkt wzór
• Punktacja: 3 pkt rozwiązane równanie z $q$ (lub $a_1$)
• Punktacja: 2 pkt równanie z jedną niewiadomą
• Punktacja: 1 pkt $a_1=14(1-q)$ albo układ dwóch równań. Uwagi: równanie bez rozwiązań z $|q|<1$ po błędzie rachunkowym → najwyżej 2 pkt; suma $n$ wyrazów zamiast sumy szeregu → 0 pkt.

• Zadanie za $4$ punkty. Wynik: DWIE trójki $(1,3,9)$ oraz $\left(\frac19,\frac79,\frac{49}{9}\right)$.
• Warunki: $(x,y,z)$ geometryczny: $y^2=xz$
• $(x,y,z-4)$ arytmetyczny: $2y=x+z-4$
• $(x,y-1,z-5)$ geometryczny: $(y-1)^2=x(z-5)$
• Sposób II (bez parametru): z pierwszego i trzeciego $y^2-2y+1=y^2-5x$, czyli $y=\frac{5x+1}{2}$; z drugiego $z=4x+5$; podstawienie do $y^2=xz$: $\left(\frac{5x+1}{2}\right)^2=x(4x+5)$, czyli $9x^2-10x+1=0$: $x=1$ lub $x=\frac19$. Stąd $(1,3,9)$ i $\left(\frac19,\frac79,\frac{49}{9}\right)$.
• Sposób I (przez różnicę $r$): $y=x+r$, $z=x+2r+4$
• z $y^2=xz$: $r^2=4x$
• z trzeciego warunku: $x=r^2-2r+1$
• stąd $3r^2-8r+4=0$: $r=2$ lub $r=\frac23$
• Sposób III (przez iloraz $q$): $y=xq$, $z=xq^2$
• $x=\frac{4}{(q-1)^2}$ i $x=\frac{1}{2q-5}$
• stąd $q^2-10q+21=0$: $q=3$ lub $q=7$
• Kontrola obu trójek: $(1,3,5)$ i $\left(\frac19,\frac79,\frac{13}{9}\right)$ są arytmetyczne; $(1,2,4)$ i $\left(\frac19,-\frac29,\frac49\right)$ są geometryczne.
• Punktacja: $4$ pkt obie trójki; $3$ pkt obie wartości $r$ ALBO równanie z jedną niewiadomą $x$ (lub $y$, $z$) ALBO obie wartości $q$ (lub obie wartości $x$); $2$ pkt równanie z jedną niewiadomą $r$ ALBO układ dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi ze zbioru $x,y,z$ ALBO równanie z jedną niewiadomą $q$; $1$ pkt układ dwóch równań z $r$ i jeszcze jedną niewiadomą ALBO $x=r^2-2r+1$ ALBO układ trzech równań z $x,y,z$ ALBO równanie z dwiema niewiadomymi ALBO układ z $q$ ALBO $x=\frac{4}{(q-1)^2}$.
• Uwaga:
  • $y=\sqrt{xz}$ zamiast $y^2=xz$ (gubi znak) → najwyżej $3$ pkt
  • więcej trójek niż dwie właściwe bez odrzucenia pozostałych → najwyżej $3$ pkt
  • pomylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym → $0$ pkt

• Obwód $20$. Kąt $ABC$ prosty → $AC$ jest średnicą → kąt $ADC$ prosty
• $P_{ABC}=14$, więc $P_{ACD}=4$: $\frac12cd=4$ i $c^2+d^2=65$
• $(c+d)^2=81$, $c+d=9$ ($c,d\in{1,8}$)
• Punktacja: 4 pkt wynik
• Punktacja: 3 pkt równanie z jedną niewiadomą (np. $c^2+\left(\frac8c\right)^2=65$) albo $(c+d)^2=81$ albo odcinki $\frac{1}{\sqrt{65}}$ i $\frac{64}{\sqrt{65}}$ na przekątnej
• Punktacja: 2 pkt układ $\frac12cd=4$, $c^2+d^2=65$ albo równanie z długością odcinka przekątnej
• Punktacja: 1 pkt pole $ACD=4$ i trójkąt $ACD$ prostokątny.
• Uwaga: jeden czworokąt bez komentarza, że drugi różni się zamianą $AD$ i $CD$ → najwyżej 3 pkt.

$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$, $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$, $x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, $x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. $\sin x+2\sin x\cos x-\cos x-\frac12=\left(\sin x-\frac12\right)(2\cos x+1)=0$

• Punktacja: 4 pkt komplet
• Punktacja: 3 pkt rozwiązane w $\mathbb{R}$ jedno z równań $\sin x=\frac12$ albo $\cos x=-\frac12$
• Punktacja: 2 pkt alternatywa $\sin x=\frac12$ lub $\cos x=-\frac12$
• Punktacja: 1 pkt wzór na $\sin 2x$ i postać $\sin x+2\sin x\cos x-\cos x=\frac12$.

$m\in(-\infty,-1]\cup(4,+\infty)$. Etap I (1 pkt): $\Delta=m^2-4m>0$, $m\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$ (warunek $\Delta\ge0$ → 0 pkt). Etap II (3 pkt): 1 pkt postać do wzorów Viète'a $[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2-2(x_1x_2)^2+4(x_1x_2)^3\ge3$

• Punktacja: 2 pkt nierówność z $m$: $(m^2-2m)^2-2m^2+4m^3\ge3$
• Punktacja: 3 pkt $m\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$. Etap III (1 pkt): część wspólna. Uwagi CKE 1–5 (m.in. błąd nierachunkowy w I–II → 0 za III; $x_1x_2=-m$ → II najwyżej 2 pkt i III 0 pkt).

$P_{KLMN}=\frac{63\sqrt3}{8}$. $P$ = środek $KL$ (spodek wysokości), $Q$ = środek $CD$, $R$ = środek $MN$ na $SQ$; $|PQ|=\frac a2$, trójkąty $PQR$, $PQS$ o kątach $30^\circ,60^\circ$: $|PR|=\frac{a\sqrt3}{4}$, $H=\frac{a\sqrt3}{2}$, $|RS|=\frac34a$. $V=\frac13a^2\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=36\sqrt3$ → $a=6$; $|MN|=\frac34a=\frac92$; pole $\frac12\left(6+\frac92\right)\cdot\frac{6\sqrt3}{4}$. Etap I (2 pkt): 1 pkt $H=\frac{a\sqrt3}{2}$, 2 pkt $a=6$. Etap II (2 pkt): $|MN|=\frac34a$ i $|PR|=\frac{a\sqrt3}{4}$ (lub $\frac{18}{4}$ i $\frac{6\sqrt3}{4}$) — 1 pkt za jedną, 2 pkt za obie. Etap III (1 pkt): pole.

• 13.1 (0–2)
  • prosta $y=a(x-1)+2$
  • $B=(0,2-a)$, $A=\left(\frac{a-2}{a},0\right)$
  • $P=\frac12\cdot\frac{a-2}{a}\cdot(2-a)=\frac{-a^2+4a-4}{2a}$. 1 pkt: $x_A=\frac{a-2}{a}$ i $y_B=2-a$
  • Punktacja:
    • 2 pkt pełne rozumowanie. 13.2 (0–4): $P'(a)=\frac{-2a^2+8}{(2a)^2}$, zero w przedziale $a<0$: $a=-2$
    • $P'<0$ na $(-\infty,-2)$, $P'>0$ na $(-2,0)$ → minimum
    • prosta $y=-2x+4$ (albo nierówność między średnimi dla $-\frac a2$ i $-\frac2a$)
  • Punktacja: 4 pkt uzasadnione minimum i prosta
  • Punktacja: 3 pkt uzasadnione minimum dla $a=-2$
  • Punktacja: 2 pkt miejsce zerowe pochodnej $a=-2$
  • Punktacja: 1 pkt pochodna. Uwagi: iloraz pochodnych → 0 pkt; brak uzasadnienia istnienia minimum → najwyżej 2 pkt.