Matematyka, poziom rozszerzony — maj 2026

$\frac13$. $\binom{n+2}{n-1}=\frac{(n-1)!,n(n+1)(n+2)}{3!,(n-1)!}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$; granica ilorazu wielomianów stopnia $3$: $\frac{1/6}{1/2}=\frac13$. 2 pkt: metoda i wynik; 1 pkt: symbol Newtona w postaci z silniami albo $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

• Uwaga: błędny symbol ($\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$, $n(n+1)(n+2)$) lub błąd rachunkowy, ale iloraz wielomianów stopnia trzeciego i konsekwentna granica → 1 pkt.

$P(A)=\frac{1}{28}$. $|\Omega|=8!$; ${a_3,a_6}={3,6}$, więc $|A|=2\cdot6!$

• Punktacja: 3 pkt wynik
• Punktacja: 2 pkt $|\Omega|=8!$ i $|A|=2\cdot6!$
• Punktacja: 1 pkt $|\Omega|=8!$ ALBO zapis, że trzeci i szósty wyraz muszą być podzielne przez $3$, ALBO $|A|=2\cdot6!$. Uwagi: pozycje $3$ i $6$ zapisane, ale $|A|=6!$ (lub $2\cdot2\cdot6!$) konsekwentnie do końca → najwyżej 2 pkt; $|\Omega|=\binom82$ lub $8\cdot7$ bez komentarza i koniec → 0 pkt.

Mnożenie przez $x^2y^2>0$: $xy(x+y)\le x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, stąd $0\le(x+y)(x-y)^2$

• Punktacja: 3 pkt pełne rozumowanie (postać $(x-y)^2\ge0$ z zapisem o kwadracie ALBO $(x+y)(x-y)^2\ge0$ z uzasadnieniem znaku ALBO pochodna, minimum dla $x=y$ i $f(y)=0$)
• Punktacja: 2 pkt postać $x^2-2xy+y^2\ge0$ ALBO $(x+y)(x-y)^2\ge0$ ALBO miejsce zerowe pochodnej $x=y$
• Punktacja: 1 pkt postać wielomianowa $W(x,y)\ge0$ ALBO $\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2y^2}\ge\frac{x+y}{xy}$ ALBO funkcja $f$ z pochodną. Uwagi: tylko przykłady → 0 pkt; $(x^2-y^2)(x-y)\ge0$ z przypadkami $x>y$, $x<y$ bez $x=y$ → 2 pkt.

Trójkąty $DAK$ i $ABL$ przystające → $AL\perp DK$ → $AL\parallel KM$; $|DP|=2|AP|=4|PK|$, $DKM\sim DPQ$ w skali $\frac54$, $|KM|=\frac{\sqrt5}{4}a$, $|PQ|=\frac45|KM|=\frac{\sqrt5}{5}a$

• Punktacja: 3 pkt pełne rozumowanie
• Punktacja: 2 pkt uzasadnione $AL\perp DK$ i poprawne równanie z niewiadomą $|PQ|$ ALBO założone bez uzasadnienia $AL\perp DK$ i pełne rozumowanie do tezy ALBO $Q=\left(\frac45a,\frac25a\right)$
• Punktacja: 1 pkt uzasadnione $AL\perp DK$ (lub $AL\parallel KM$) ALBO $|KM|$ i $|DK|$ lub $|DM|$ ALBO jedna z $|AP|$, $|DP|$, $|PK|$ ALBO $P=\left(\frac25a,\frac15a\right)$ ALBO przystawanie $EKD$ i $MKD$. Uwagi: błędne założenie → 0 pkt; uzasadnione $AL\perp DK$ i jeden błąd rachunkowy przy pełnej strategii → 2 pkt.

$x\in(-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty)$. Np. $|x-3|,(2-|x+3|)<0$ ⇔ $x\ne3$ i $|x+3|>2$

• Punktacja: 4 pkt wynik
• Punktacja: 3 pkt nierówności bez modułu w trzech przedziałach i rozwiązanie w dwóch ALBO rozwiązanie $2-|x+3|<0$ ALBO $(x-3)^2(x+1)(x+5)>0$ ALBO pierwiastki $x^4-22x^2+24x+45$ z krotnościami (i inne warianty z zasad)
• Punktacja: 2 pkt nierówności bez modułu w trzech przedziałach ALBO $|x-3|(2-|x+3|)<0$ ALBO równoważna koniunkcja/alternatywa ALBO wykresy
• Punktacja: 1 pkt nierówność bez modułu w jednym przedziale ALBO rozwiązanie w jednym przedziale ALBO $2|x-3|-|(x-3)(x+3)|<0$ itp. Uwagi: błąd nierachunkowy w jednym przypadku → najwyżej 2 pkt; przedziały niewyczerpujące $\mathbb{R}$, rozwiązanie graficzne bez sprawdzenia, brak $x\ne3$ → najwyżej 3 pkt.

$S=-1,026,168$. $(1+2r)^2=(1+r)(1+5r)$ → $r=0$ lub $r=-2$, $r=0$ odpada; $n=1014$; $S_{1014}=\frac{1-2025}{2}\cdot1014$

• Punktacja: 4 pkt wynik
• Punktacja: 3 pkt $n=1014$
• Punktacja: 2 pkt $r=0$ i $r=-2$ ALBO $r=-2$ spełniające warunki ALBO $q=1$ i $q=3$ ALBO $q=3$ ALBO $a_2=-1$ ALBO równanie z niewiadomą $n$
• Punktacja:
  • 1 pkt równanie z jedną niewiadomą ($r$, $q$ lub $a_2$) ALBO $r=\frac{-2026}{n-1}$. Uwagi: pomylenie ciągów → 0 pkt
  • błędny wzór na $n$-ty wyraz → najwyżej 2 pkt
  • $n$ nienaturalne → 2 pkt
  • $r=-2$ sprawdzone bez uzasadnienia jedyności → najwyżej 2 pkt (za $n$ i sumę)
  • $r=-2$ przyjęte bez uzasadnienia → 0 pkt

$x=\frac{\pi k}{2}$, $x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$. Np. $\sin6x-\sin2x=2\cos4x\sin2x$ → $\sin2x,(2\cos4x-1)=0$

• Punktacja: 4 pkt wynik
• Punktacja: 3 pkt alternatywa i rozwiązanie jednego jej równania
• Punktacja: 2 pkt alternatywa ($\sin2x=0$ lub $\cos^22x=\frac34$, lub $2\cos4x-1=0$, lub $4\sin^22x-1=0$)
• Punktacja: 1 pkt wzór na sinus sumy, różnicę sinusów albo sinus potrojonego kąta i odpowiednia postać. Uwagi: 1a) błędy nierachunkowe bez kryterium za 1 pkt, $\sin2x\cdot f(x)=0$ → najwyżej 1 pkt; 1b) kryterium za 1 pkt, potem błędy nierachunkowe, rozwiązane $\sin2x=0$ → 2 pkt; 2) tylko błędy rachunkowe, $f$ bez miejsc zerowych lub z jedną serią, rozwiązane $\sin2x=0$ → najwyżej 2 pkt; 3) podstawienie $u=2x$, rozwiązanie w $u$ i koniec → 3 pkt.

$a=3\sqrt6$, $\cos\beta=\frac{5}{14}$. $R=3\sqrt2$; $\cos\frac\alpha2=\frac{\sqrt7}3$; $x=|BD|=a\cos\frac\alpha2=\sqrt{42}$; tw. cosinusów w $ABD$: $54=84-84\cos\beta$

• Punktacja: 4 pkt oba wyniki
• Punktacja: 3 pkt $x=\sqrt{42}$ ALBO $\sin\frac\beta2=\frac3{2\sqrt7}$ ALBO $a$ i zależność między $\alpha$ i $\beta$ ALBO $\cos\beta=\frac5{14}$
• Punktacja: 2 pkt $a$ i $\cos\frac\alpha2$ ALBO $\frac xa=\frac{\sqrt7}3$ i $\sin\frac\beta2=\frac{|EB|}{x}$ ALBO $b=\frac{9\sqrt3}2$ ALBO zależność $b$–$x$ ALBO zależność $\alpha$–$\beta$
• Punktacja: 1 pkt $a=3\sqrt6$ ALBO $\cos\frac\alpha2$ ALBO $\sin\alpha$ ALBO tw. cosinusów w $ABD$ lub $BCS$ ALBO $\cos\frac\alpha2=\frac xa$ ALBO $\sin\alpha=\frac xb$. Uwagi: błędna interpretacja kąta między krawędziami → najwyżej 1 pkt; inna bryła → 0 pkt.

$\left(x-\frac65\right)^2+\left(y+\frac35\right)^2=\frac{16}{5}$. Na prostej leży ramię $BC$; $C=(x_C,-\frac12x_C+2)$, $|CA|=|CB|$ → $C=(2,1)$; $\overrightarrow{AM}=\frac15\overrightarrow{AC}$ → $M=\left(\frac65,-\frac35\right)$. Sposób I: 4 pkt $C$ i $M$ (lub $C$ i $|MC|$)

• Punktacja: 3 pkt $C$ ALBO równanie z jedną niewiadomą i $M$ zależne od $A$, $C$
• Punktacja: 2 pkt równanie z jedną niewiadomą ALBO symetralna $AB$ i $M$ zależne od $A$, $C$
• Punktacja: 1 pkt symetralna $AB$ ALBO $C$ zależne od jednej zmiennej ALBO $M$ zależne od $A$, $C$. Sposób II (Tales): 4 pkt $M$ i wektor $\overrightarrow{AM}$
• Punktacja: 3 pkt $D$ i prosta $ME$ ALBO $E$ i prosta $MD$
• Punktacja: 2 pkt $D$ i $E$ ALBO prosta $MD$ ALBO prosta $ME$
• Punktacja:
  • 1 pkt $D$ ALBO $E$. Uwagi: $C=(2,1)$ z uzasadnieniem → 3 pkt, bez → 0 za tę część
  • stosunek $4:1$ → najwyżej 4 pkt
  • inny → najwyżej 3 pkt
  • założenie $AC\perp BC$ → najwyżej 2 pkt

$m\in(1,+\infty)$. Warunki (sposób I): $f(p)<0$: $m>0$; $p>-2$: $m\in(-\infty,-\frac12)\cup(0,+\infty)$; $p<2$: $m\in(-\infty,0)\cup(\frac12,+\infty)$; $f(-2)>0$: $m\in\mathbb{R}$; $f(2)>0$: $m\in(-\infty,\frac14)\cup(1,+\infty)$. Sposoby I i III: 4 pkt pięć warunków, 3 pkt cztery, 2 pkt trzy, 1 pkt zapisane wszystkie albo jeden rozwiązany. Sposób II (miejsca zerowe $\frac{1\pm\sqrt m}{m}$): 4 pkt I–V albo I, III, IV i $x_1<x_2$

• Punktacja: 3 pkt cztery z I–V albo pary z $x_1<x_2$
• Punktacja: 2 pkt I i jeden z II–V albo trzy z II–V
• Punktacja: 1 pkt $\Delta>0$ albo wzory miejsc zerowych. Uwagi: $\Delta\ge0$ → 0 za tę część; nie wszystkie warunki, pusta część wspólna po błędach rachunkowych lub błąd nierachunkowy → najwyżej 3 pkt.

$|BC|=5$, $|CD|=6$, $P=30\sqrt3$. $|\angle BCD|=120^\circ$; $9+|CD|=10+|BC|$; $|BD|^2=91$; $91=x^2+(x+1)^2+x(x+1)$ → $x=5$

• Punktacja: 6 pkt wszystko
• Punktacja: 5 pkt boki
• Punktacja: 4 pkt równanie z jedną niewiadomą albo układ dwóch równań
• Punktacja: 3 pkt warunki 1)–3) albo 1), 2) i tw. cosinusów w $BCD$ albo 2), 3) i tw. cosinusów w $BCD$
• Punktacja: 2 pkt dwa z warunków
• Punktacja: 1 pkt jeden z warunków: 1) $9+|CD|=10+|BC|$, 2) $|BD|^2=81+100-180\cos60^\circ$, 3) $|\angle BCD|=120^\circ$.
• Uwaga: jeden błąd typu a–e przy poprawnej strategii → najwyżej 4 pkt, z dodatkowymi błędami rachunkowymi → najwyżej 3 pkt.

• 12.1 (0–3) — trójkąty $CES$ i $CDA$ podobne: $\frac{2}{h-2}=\frac{\frac12x}{b}$, Pitagoras w $ADC$ → $h=\frac{4x^2}{x^2-16}$, $P=\frac{2x^3}{x^2-16}$. 2 pkt: związek za 1 pkt i układ ≤ 3 równań dający $h(x)$ ALBO $\operatorname{tg}2\alpha=\frac{4rx}{x^2-4r^2}$ ALBO zależność $P$ od $x$; 1 pkt: związek $h$, $x$ i $b$ (lub $|CE|$, $|CS|$) ALBO $\operatorname{tg}\alpha=\frac{r}{x/2}$ ALBO $P=(b+\frac x2)r$ lub wzór Herona ALBO inne z zasad. Promień inny niż 2 lub 4 → najwyżej 1 pkt. 12.2 (0–4): $P'(x)=\frac{2x^2(x^2-48)}{(x^2-16)^2}$, $x=4\sqrt3$, $P$ maleje na $(4,4\sqrt3]$, rośnie na $[4\sqrt3,10]$, $P_{\min}=12\sqrt3$
  • Punktacja: 4 pkt uzasadnione minimum i pole
  • Punktacja: 3 pkt uzasadnione minimum
  • Punktacja: 2 pkt $x=4\sqrt3$
  • Punktacja:
    • 1 pkt pochodna. Uwagi: iloraz pochodnych → 0 pkt
    • błędna pochodna przy poprawnym wzorze na pochodną ilorazu → najwyżej 3 pkt
    • bez widocznie poprawnego wzoru → najwyżej 2 pkt
    • uzasadnienie niepełne lub zła dziedzina → najwyżej 3 pkt
    • brak uzasadnienia → najwyżej 2 pkt