Egzamin ósmoklasisty — matematyka, czerwiec 2025 (termin dodatkowy)
21 zadań z arkusza CKE (czerwiec 2025 (termin dodatkowy)), 30 pkt: Egzamin: średnia dzienna a brakujący wynik; Egzamin: piąta liczba w ciągu połówek; Egzamin: ile całych nagrań zmieści się w 20 minutach; Egzamin: iloraz i iloczyn potęg, prawda czy fałsz. Polecenia, klucz odpowiedzi CKE i lekcje, w…
Zadanie 1 — Egzamin: średnia dzienna a brakujący wynik (1 punkt)
Robert rozpoczął czytanie książki we wtorek i zakończył w sobotę. Oto liczba stron, które przeczytał w kolejnych dniach:
wtorek — $55$ stron
środa — $68$ stron
czwartek — $72$ strony
piątek — $49$ stron
Liczby stron przeczytanych w sobotę nie podano.
Od wtorku do soboty włącznie Robert czytał dziennie średnio $60$ stron tej książki.
Ile stron tej książki Robert przeczytał w sobotę?
A. $46$
B. $56$
C. $75$
D. $76$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
B ($56$). Pięć dni po średnio $60$ stron to razem $300$ stron; $55+68+72+49=244$, więc w sobotę $300-244=56$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 2 — Egzamin: piąta liczba w ciągu połówek (1 punkt)
Zapisywano kolejno liczby według następującej zasady:
1. liczbę $6$ zapisano jako pierwszą
2. każda następna zapisana liczba była połową liczby poprzedniej
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Piątą liczbą, którą zapisano, jest
A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $\frac{3}{16}$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
C ($\frac{3}{8}$). Kolejno: $6$, $3$, $\frac{3}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{8}$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 3 — Egzamin: ile całych nagrań zmieści się w 20 minutach (1 punkt)
Martyna przez $20$ minut słuchała kolejno nagrań ćwiczeń językowych. Czas odtwarzania nagrania każdego ćwiczenia w całości jest równy $250$ sekund.
Ile najwięcej ćwiczeń w całości Martyna mogła wysłuchać w tym czasie?
A. $4$
B. $5$
C. $8$
D. $12$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
A ($4$). $20$ minut to $1200$ sekund; $1200 : 250 = 4$ reszty $200$, a liczy się tylko całe nagrania.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 4 — Egzamin: iloraz i iloczyn potęg, prawda czy fałsz (1 punkt)
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Iloraz $9^4 : 3^2$ jest równy $3^2$.
2. Liczba $3^8$ jest trzy razy większa od iloczynu $3^5 \cdot 3^2$.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
FP. $9^4 : 3^2 = 3^8 : 3^2 = 3^6$, więc pierwsze zdanie jest FAŁSZYWE. $3^5 \cdot 3^2 = 3^7$, a $3 \cdot 3^7 = 3^8$, więc drugie zdanie jest PRAWDZIWE.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 5 — Egzamin: podzielność sumy i iloczynu bez mnożenia (1 punkt)
Dane są liczby $k = 69$ oraz $m = 83$.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Suma liczb $k$ i $m$ jest podzielna przez $4$.
2. Iloczyn liczb $k$ i $m$ jest podzielny przez $3$.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
PP. $69+83=152$, a $152:4=38$, więc suma dzieli się przez $4$. W iloczynie $69 \cdot 83$ czynnik $69=3 \cdot 23$ dzieli się przez $3$, więc cały iloczyn też.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 6 — Egzamin: losowanie karty z figurą, dwa prawdopodobieństwa (1 punkt)
W pudełku jest $18$ kart jednakowej wielkości. Na każdej z nich narysowano jedną figurę geometryczną. Wśród tych kart:
1. jest pięć kart z narysowanym trójkątem równobocznym o boku długości $6$ cm
2. są cztery karty z narysowanym kwadratem o boku długości $7$ cm
3. jest dziewięć kart z narysowanym pięciokątem foremnym o boku długości $2$ cm
Z pudełka wylosowano jedną kartę. Uzupełnij zdania.
Prawdopodobieństwo, że wylosowano kartę z narysowanym kwadratem, jest równe
A. $\frac{1}{18}$
B. $\frac{2}{9}$
Prawdopodobieństwo, że wylosowano kartę z narysowaną figurą o obwodzie mniejszym od $18$ cm, jest równe
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{7}{9}$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
BC. Kwadratów jest $4$ z $18$, czyli $\frac{4}{18} = \frac{2}{9}$ (B). Obwód mniejszy od $18$ cm ma tylko pięciokąt ($5 \cdot 2 = 10$), bo trójkąt ma dokładnie $18$, a kwadrat $28$; stąd $\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$ (C).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 7 — Egzamin: od części trasy do jej połowy (1 punkt)
Jurek przejechał rowerem $12$ km, co stanowiło $\frac{2}{3}$ długości zaplanowanej trasy.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Połowa zaplanowanej trasy ma długość
A. $6$ km
B. $8$ km
C. $9$ km
D. $10$ km
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
C ($9$ km). Skoro $12$ km to $\frac{2}{3}$ trasy, to $\frac{1}{3}$ trasy ma $6$ km, cała trasa $18$ km, a połowa $9$ km.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 8 — Egzamin: równanie z ułamkiem po lewej stronie (1 punkt)
Dane jest równanie $5 + \frac{1-x}{2} = 2(x-1)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Rozwiązaniem tego równania jest liczba
A. $2$
B. $2\frac{1}{2}$
C. $3$
D. $4\frac{1}{3}$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
C ($3$). Po pomnożeniu obu stron przez $2$: $10 + 1 - x = 4x - 4$, czyli $11 - x = 4x - 4$, stąd $15 = 5x$ i $x = 3$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 9 — Egzamin: pole rombu z iloczynu przekątnych (1 punkt)
Dane są dwie figury: kwadrat $K$ i romb $R$. Długość boku kwadratu $K$ jest równa $8$. Iloczyn długości przekątnych rombu $R$ jest równy $64$.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Pole rombu $R$ jest równe $32$.
2. Pole kwadratu $K$ jest równe polu rombu $R$.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
PF. Pole rombu to połowa iloczynu przekątnych, czyli $\frac{64}{2} = 32$ (pierwsze zdanie prawdziwe). Pole kwadratu to $8^2 = 64 \neq 32$ (drugie fałszywe).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 10 — Egzamin: które wnioski o kątach trójkąta są prawdziwe (1 punkt)
Karol wie, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa $180°$, i na tej podstawie zapisał trzy wnioski.
Wniosek 1. Skoro suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa $180°$, to trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych prostych ani dwóch kątów wewnętrznych rozwartych.
Wniosek 2. Ponieważ trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych rozwartych, więc nie istnieje trójkąt rozwartokątny równoramienny.
Wniosek 3. Jeśli suma miar dwóch kątów wewnętrznych trójkąta jest większa od $90°$, to trzeci kąt wewnętrzny tego trójkąta jest ostry.
Które z wniosków zapisanych przez Karola są prawdziwe?
A. Tylko 1. i 3.
B. Tylko 1. i 2.
C. Tylko 2. i 3.
D. 1., 2. i 3.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
A (tylko 1. i 3.). Wniosek 2. jest fałszywy: trójkąt o kątach $100°$, $40°$, $40°$ jest jednocześnie rozwartokątny i równoramienny.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 11 — Egzamin: łączny wiek zapisany jednym wyrażeniem (1 punkt)
Kasia jest $3$ razy starsza od Ani. Ola jest o $2$ lata starsza od Kasi. Oznaczymy przez $x$ wiek Ani.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Łączny wiek Kasi, Ani i Oli opisuje wyrażenie
A. $3x+5$
B. $4x+2$
C. $5x+2$
D. $7x+2$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
D ($7x+2$). Ania $x$, Kasia $3x$, Ola $3x+2$; razem $x + 3x + 3x + 2 = 7x + 2$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 12 — Egzamin: pole trapezu i jego najdłuższy bok (1 punkt)
Na rysunku przedstawiono trapez prostokątny oraz podano długości trzech jego boków. Uzupełnij zdania.
Pole tego trapezu jest równe
A. $30$ cm²
B. $60$ cm²
Najdłuższy bok tego trapezu ma długość
C. $9$ cm
D. $10$ cm
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
AD. Pole $= \frac{(1+9) \cdot 6}{2} = 30$ cm² (A). Ukośne ramię: różnica podstaw $9-1=8$, wysokość $6$, więc $\sqrt{8^2+6^2} = 10$ cm (D).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 13 — Egzamin: od pola powierzchni sześcianu do jego objętości (1 punkt)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe $150$ cm².
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość tego sześcianu jest równa
A. $25$ cm³
B. $125$ cm³
C. $625$ cm³
D. $750$ cm³
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
B ($125$ cm³). $150 : 6 = 25$ to pole jednej ściany, więc krawędź ma $5$ cm, a objętość $5^3 = 125$ cm³.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 14 — Egzamin: czy ten czworokąt jest równoległobokiem, a czy rombem (1 punkt)
W układzie współrzędnych zaznaczono kolejne wierzchołki $A$ i $B$ pewnego czworokąta $ABCD$. Punkty $A$ i $B$ są punktami kratowymi. Pozostałe wierzchołki czworokąta mają współrzędne $C = (3, y_C)$ oraz $D = (-1, y_D)$, gdzie $y_C$ jest liczbą całkowitą dodatnią oraz $y_C = y_D$.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Czworokąt $ABCD$ jest równoległobokiem.
2. Dla $y_C = y_D = 3$ czworokąt $ABCD$ jest rombem.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
PF. Boki $AB$ i $DC$ są poziome i oba mają długość $4$, więc czworokąt jest równoległobokiem (prawda). Dla $y_C=y_D=3$ bok $BC$ ma długość $\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20} \neq 4$, więc to nie romb (fałsz).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 15 — Egzamin: objętość pudełka mierzona kostką (1 punkt)
Sześcienną kostkę o objętości $1$ dm³ włożono do prostopadłościennego pudełka, którego krawędzie oznaczono literami $a$, $b$, $c$. Długość krawędzi sześciennej kostki stanowi $\frac{1}{3}$ długości krawędzi $a$, $\frac{1}{2}$ długości krawędzi $b$ i $\frac{2}{5}$ długości krawędzi $c$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość tego pudełka jest równa
A. $12$ dm³
B. $18$ dm³
C. $10$ dm³
D. $15$ dm³
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
D ($15$ dm³). Krawędź kostki to $1$ dm, więc $a = 3$ dm, $b = 2$ dm, $c = 2{,}5$ dm, a objętość $3 \cdot 2 \cdot 2{,}5 = 15$ dm³.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 16 — Egzamin: obniżka o 20%, potem podwyżka o 20% (2 punkty)
Takie same hulajnogi są sprzedawane w sklepach A, B, C. W sklepie B cena hulajnogi stanowi $80%$ ceny hulajnogi w sklepie A. W sklepie C cena hulajnogi stanowi $120%$ ceny hulajnogi w sklepie B.
Uzasadnij, że cena hulajnogi w sklepie C jest niższa od ceny hulajnogi w sklepie A. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
Cena w C stanowi $1{,}2 \cdot 0{,}8x = 0{,}96x$ ceny w A, a $0{,}96x < x$. BRAMKA CKE: uzasadnienie na wybranych, konkretnych cenach daje 0 punktów za całe zadanie.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 17 — Egzamin: ile zostało po dwóch zakupach (3 punkty)
Kamil otrzymał $300$ złotych na zakup koszulki i torby sportowej. Na koszulkę wydał $\frac{1}{5}$ tej kwoty. Za torbę sportową zapłacił $\frac{3}{5}$ kwoty, która została mu po zakupie koszulki.
Oblicz, ile złotych zostało Kamilowi po zakupach. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$96$ zł. Koszulka $\frac{1}{5} \cdot 300 = 60$, zostaje $240$; torba $\frac{3}{5} \cdot 240 = 144$; zostaje $240-144=96$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 18 — Egzamin: skuter czy rower, kto szybciej na basen (2 punkty)
Kuba i Paweł wyruszyli o godzinie $8{:}44$ ze szkoły na basen tą samą trasą o długości $7{,}5$ km. Kuba wyruszył skuterem i dojechał na basen o $9{:}06$. Paweł przejechał tę trasę rowerem elektrycznym z prędkością $18$ km/h.
Oblicz, który z chłopców przejechał tę trasę w krótszym czasie. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
Kuba. Skuter: od $8{:}44$ do $9{:}06$ to $22$ minuty. Rower: $7{,}5 : 18 = \frac{25}{60}$ h $= 25$ minut. $22 < 25$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 19 — Egzamin: iloczyn liczb odczytanych z dwóch osi (2 punkty)
Dane są dwie osie liczbowe. Na pierwszej z nich zaznaczono punkty $K$, $L$, $M$ oraz podano współrzędne punktów $K$ i $L$. Odcinek $KM$ jest podzielony na $9$ równych części.
Na drugiej osi liczbowej zaznaczono punkty $P$, $R$, $S$ oraz podano współrzędne punktów $P$ i $S$. Odcinek $PS$ jest podzielony na $9$ równych części.
Oblicz iloczyn $x \cdot y$. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$135$. Na pierwszej osi odcinek jednostkowy to $5:2 = 2{,}5$, więc $x = 9 \cdot 2{,}5 = 22{,}5$. Na drugiej $18:9 = 2$, więc $y = 3 \cdot 2 = 6$. Iloczyn $22{,}5 \cdot 6 = 135$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 20 — Egzamin: pole trójkąta równoramiennego z obwodu (3 punkty)
Obwód trójkąta równoramiennego jest równy $36$ cm. Ramię tego trójkąta jest o $3$ cm dłuższe od jego podstawy.
Oblicz pole tego trójkąta. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$60$ cm². Z $2(x+3)+x=36$ wychodzi podstawa $10$ i ramię $13$; z Pitagorasa $h^2+5^2=13^2$, więc $h=12$; pole $\frac{10 \cdot 12}{2} = 60$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 21 — Egzamin: objętość ostrosłupa o wysokości zależnej od obwodu (3 punkty)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędź podstawy ma długość $3{,}5$ cm. Wysokość ostrosłupa jest o $8$ cm mniejsza od obwodu jego podstawy.
Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$24{,}5$ cm³. Pole podstawy $3{,}5^2 = 12{,}25$; obwód podstawy $4 \cdot 3{,}5 = 14$, więc $H = 14-8 = 6$; objętość $\frac{1}{3} \cdot 12{,}25 \cdot 6 = 24{,}5$.