Egzamin ósmoklasisty — matematyka, czerwiec 2026 (termin dodatkowy)
20 zadań z arkusza CKE (czerwiec 2026 (termin dodatkowy)), 30 pkt: Egzamin: średnia liczba finalistów z diagramu; Egzamin: podział nagród w stosunku 6 : 3 : 1; Egzamin: rozwiązanie równania z nawiasami; Egzamin: które wyrażenie z potęgami jest największe. Polecenia, klucz odpowiedzi CKE i lekcje, w…
Zadanie 1 — Egzamin: średnia liczba finalistów z diagramu (1 punkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia roczna liczba finalistów w okresie tych sześciu lat była równa
A. $6{,}5$
B. $7$
C. $7{,}8$
D. $8$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
A ($6{,}5$). Odczyt: 10, 8, 0, 4, 12, 5; suma $39$, podzielona przez 6 lat.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 2 — Egzamin: podział nagród w stosunku 6 : 3 : 1 (1 punkt)
Kwotę $1800$ złotych przeznaczoną na nagrody w pewnym konkursie podzielono na trzy części w stosunku $6 : 3 : 1$, odpowiednio: za I, za II i za III miejsce.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Wartość nagrody za III miejsce jest równa A albo B.
A. $180$ złotych
B. $200$ złotych
Wartość nagrody za I miejsce jest C albo D razy większa od wartości nagrody za II miejsce.
C. $3$
D. $2$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
AD. Części jest $6+3+1=10$, więc jedna część to $1800 : 10 = 180$ zł. III miejsce to jedna część, czyli 180 zł (A). I miejsce ma 6 części, II miejsce 3 części, więc nagroda za I jest $6 : 3 = 2$ razy większa (D). Punkt tylko za komplet.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 3 — Egzamin: rozwiązanie równania z nawiasami (1 punkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Rozwiązaniem równania $3(x+2)=6-(x-1)$ jest liczba
A. $-\frac{3}{2}$
B. $-1$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{2}$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
C ($\frac{1}{4}$). $3x+6=6-x+1$, czyli $3x+6=7-x$, stąd $4x=1$ i $x=\frac{1}{4}$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 4 — Egzamin: które wyrażenie z potęgami jest największe (1 punkt)
Dane są cztery wyrażenia arytmetyczne:
I. $2^{24} : 2$
II. $4^{12} \cdot 4$
III. $2^{25} : 8$
IV. $(4 \cdot 8)^4$
Które z tych wyrażeń ma największą wartość? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. I
B. II
C. III
D. IV
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
B. Po sprowadzeniu do podstawy 2: I $= 2^{23}$, II $= 4^{13} = 2^{26}$, III $= 2^{25} : 2^3 = 2^{22}$, IV $= 32^4 = 2^{20}$. Największe jest II.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 5 — Egzamin: ile jest liczb czterocyfrowych o sumie cyfr 3 (1 punkt)
W pewnej liczbie czterocyfrowej suma cyfr jest równa $3$.
Ile jest liczb czterocyfrowych spełniających ten warunek? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. $3$
B. $6$
C. $9$
D. $10$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
- D ($10$). Liczby: $3000$
- $2100$, $2010$, $2001$
- $1200$, $1020$, $1002$, $1110$, $1101$, $1011$
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 6 — Egzamin: wartość wyrażenia z pierwiastkiem sześciennym (1 punkt)
Dane jest wyrażenie arytmetyczne $\frac{\sqrt{100}-\sqrt{36}}{\sqrt[3]{-8}}$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość podanego wyrażenia jest równa
A. $4$
B. $2$
C. $-2$
D. $-4$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
C ($-2$). Licznik: $\sqrt{100}-\sqrt{36}=10-6=4$. Mianownik: $\sqrt[3]{-8}=-2$. Iloraz: $4 : (-2) = -2$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 7 — Egzamin: przez co dzieli się suma trzech kolejnych liczb (1 punkt)
Trzy kolejne liczby naturalne można zapisać w postaci: $n$, $(n+1)$, $(n+2)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma każdych trzech kolejnych liczb naturalnych jest liczbą podzielną przez
A. $2$
B. $3$
C. $5$
D. $6$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
B ($3$). $n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$, więc suma zawsze dzieli się przez 3.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 8 — Egzamin: prawdopodobieństwo wylosowania dnia z kalendarza (1 punkt)
Wybieramy losowo jeden dzień tego miesiąca.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Prawdopodobieństwo, że wybrany dzień tego miesiąca to wtorek, jest równe A albo B.
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{1}{6}$
Prawdopodobieństwo, że numer wybranego dnia tego miesiąca będzie liczbą podzielną przez C albo D, jest równe $\frac{2}{15}$.
C. $4$
D. $7$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
BD. Wtorków jest 5 (2, 9, 16, 23, 30), więc $\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$ (B). Wartość $\frac{2}{15}=\frac{4}{30}$ odpowiada czterem dniom, a dni podzielnych przez 7 jest właśnie cztery: 7, 14, 21, 28 (D). Dni podzielnych przez 4 jest siedem, więc odpowiedź C dałaby $\frac{7}{30}$. Punkt tylko za komplet.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 9 — Egzamin: które wyrażenia mają wartość całkowitą (1 punkt)
Dane są cztery wyrażenia arytmetyczne:
I. $1-2\frac{2}{3} \cdot 3$
II. $3{,}4-2\frac{1}{4}$
III. $3\frac{3}{4}-4{,}25$
IV. $6 : 1{,}2$
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczbami całkowitymi są wartości wyrażeń
A. I oraz II
B. II oraz III
C. I oraz IV
D. III oraz IV
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
C (I oraz IV). I: $1-2\frac{2}{3} \cdot 3 = 1-8 = -7$. II: $3{,}4-2\frac{1}{4}=1{,}15$. III: $3\frac{3}{4}-4{,}25=-0{,}5$. IV: $6 : 1{,}2 = 5$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 10 — Egzamin: prędkość roweru na trasie 28 km (1 punkt)
Ala wyruszyła na wycieczkę rowerową o godzinie $11{:}40$. Przejechała trasę o długości $28$ km i dotarła do celu tego samego dnia o godzinie $13{:}00$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prędkość, z jaką Ala na rowerze pokonała trasę wycieczki, była równa
A. $10{,}5$ km/h
B. $12$ km/h
C. $16{,}8$ km/h
D. $21$ km/h
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
D ($21$ km/h). Czas jazdy: od 11:40 do 13:00, czyli 1 h 20 min $=\frac{4}{3}$ h. $v = \frac{28}{\frac{4}{3}} = 28 \cdot \frac{3}{4} = 21$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 11 — Egzamin: dwa odcinki w układzie współrzędnych (1 punkt)
W prostokątnym układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są odcinki $AB$ oraz $CD$. Końcami tych odcinków są, odpowiednio, punkty: $A=(0,0)$, $B=(0,4)$ oraz $C=(-2,0)$, $D=(6,0)$.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Odcinek $AB$ ma taką samą długość jak odcinek $CD$.
2. Odcinek $AB$ jest prostopadły do odcinka $CD$.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
FP. $|AB|=4$, $|CD|=8$, więc długości są różne (F). Odcinek $AB$ leży na osi $y$, odcinek $CD$ na osi $x$, więc są prostopadłe (P). Punkt tylko za komplet.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 12 — Egzamin: obwód równoległoboku z przekątną (1 punkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obwód równoległoboku $ABCD$ jest równy
A. $32$
B. $48$
C. $24$
D. $22$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
A ($32$). Trójkąt $ABD$ jest prostokątny, więc $|AB|=\sqrt{6^2+8^2}=10$. Obwód: $2 \cdot (6+10)=32$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 13 — Egzamin: osie symetrii figury z patyczków (1 punkt)
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Po usunięciu z figury $S$ patyczków $AF$ i $AB$, bez przesuwania pozostałych patyczków, otrzymamy figurę, która ma jedną oś symetrii.
2. Po usunięciu z figury $S$ patyczka $FE$, bez przesuwania pozostałych patyczków, otrzymamy figurę, która nie ma osi symetrii.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
PF. Po usunięciu $AF$ i $AB$ zostaje figura symetryczna względem osi poziomej, czyli mająca jedną oś (P). Po usunięciu samego $FE$ figura wciąż jest symetryczna względem osi pionowej, więc zdanie „nie ma osi symetrii” jest fałszywe (F). Punkt tylko za komplet.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 14 — Egzamin: pole sześcianu z obwodu jego siatki (1 punkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe
A. $100$ cm$^2$
B. $120$ cm$^2$
C. $125$ cm$^2$
D. $150$ cm$^2$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
D ($150$ cm$^2$). Na obwodzie siatki leży 14 boków kwadratów, więc $14a=70$ i $a=5$ cm. Pole powierzchni: $6 \cdot 5^2 = 150$ cm$^2$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 15 — Egzamin: jaka część tulipanów jest biała (2 punkty)
Na klombie rośnie $150$ tulipanów. Każdy z nich ma kwiat w jednym z trzech kolorów: w czerwonym, w żółtym albo w białym. Wśród tych kwiatów $\frac{1}{5}$ ma kolor czerwony i $\frac{1}{3}$ ma kolor żółty.
Oblicz, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowi liczba białych tulipanów na tym klombie. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$\frac{7}{15}$. 2 pkt za poprawny sposób, obliczenia i wynik; 1 pkt za sam poprawny sposób (np. zapisanie $1-\frac{1}{5}-\frac{1}{3}$ albo $150-150 \cdot \frac{1}{5}-150 \cdot \frac{1}{3}$, albo poprawnego równania).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 16 — Egzamin: ile celnych rzutów wykonał Janek (3 punkty)
Gra polega na rzucaniu piłką do kosza. Jeśli rzut jest celny, to liczba dotychczas zdobytych punktów jest zwiększana o $5$ punktów. Jeśli rzut jest nietrafiony, to liczba dotychczas zdobytych punktów jest zmniejszana o $4$ punkty. Janek rozpoczął grę z wynikiem $0$ punktów. Liczba celnych rzutów Janka jest trzy razy większa niż liczba rzutów, w których Janek nie trafił piłką do kosza. W rezultacie Janek zgromadził $132$ punkty.
Oblicz, ile razy Janek trafił piłką do kosza. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
- 36 celnych rzutów. 3 pkt za pełne rozwiązanie z wynikiem
- 2 pkt za poprawne równanie (np. $5x-\frac{4}{3}x=132$ albo $5 \cdot 3x-4x=132$) lub za parę wyrażeń $3 \cdot 5-4$ oraz $132 : (3 \cdot 5-4)$
- 1 pkt za poprawne wyrażenia algebraiczne opisujące punkty zdobyte i stracone
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 17 — Egzamin: czy litr szamponu kosztuje tyle samo (3 punkty)
W sklepie ogłoszono dwie promocje przy zakupie szamponu Pięć ziół:
Butelka 500 ml: drugi taki sam produkt o $40%$ taniej.
Butelka 250 ml: czwarty taki sam produkt za $1$ zł.
Ola i Ania kupiły szampony Pięć ziół w cenie promocyjnej. Ola kupiła dwie butelki o pojemności $500$ ml i zapłaciła $24$ zł. Ania kupiła cztery butelki o pojemności $250$ ml i zapłaciła $23{,}50$ zł.
Czy w tym sklepie koszt zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół w butelkach o pojemności $500$ ml oraz koszt zakupu bez promocji jednego litra tego szamponu w butelkach o pojemności $250$ ml jest taki sam? Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
Tak, koszt jest taki sam i wynosi 30 zł za litr. Butelka 500 ml bez promocji: $x+0{,}6x=24$, czyli $x=15$ zł, więc litr to $2 \cdot 15=30$ zł. Butelka 250 ml: $3y+1=23{,}50$, czyli $y=7{,}50$ zł, więc litr to $4 \cdot 7{,}50=30$ zł. 3 pkt za obie ceny litra i wniosek; 2 pkt za cenę litra jednej pojemności albo za obie ceny butelek; 1 pkt za cenę jednej butelki bez promocji.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 18 — Egzamin: czy ten trójkąt jest równoramienny (2 punkty)
Czy trójkąt $ABC$ jest równoramienny? Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
Nie jest równoramienny. $|\angle ABC| = 26°$ (kąt naprzemianległy z $\angle ECB$), $|\angle BCA| = 90°-40°-26° = 24°$, a $|\angle CAB| = 130°$. Żadne dwa kąty nie są równe. 2 pkt za obie miary i wniosek; 1 pkt za poprawne obliczenie (albo zapisanie) miar dwóch dowolnych kątów trójkąta $ABC$ lub za zapisanie warunku równoramienności.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 19 — Egzamin: pole trapezu prostokątnego z kątem 45° (3 punkty)
Oblicz pole trapezu $ABCD$. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
64 cm$^2$. Wysokość trapezu to $8$ cm. Kąt $45°$ sprawia, że odcięty trójkąt jest równoramienny, więc jego pozioma przyprostokątna też ma $8$ cm. Stąd $|AB| = |CD| + 8$, a że $|AB| = 3|CD|$, to $|CD| = 4$ i $|AB| = 12$. Pole: $\frac{(4+12)}{2} \cdot 8 = 64$. 3 pkt za wynik; 2 pkt za obie podstawy; 1 pkt za ustalenie, że przyprostokątne odciętego trójkąta mają po 8 cm, albo za zapisanie wzoru na pole z wysokością 8.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 20 — Egzamin: objętość graniastosłupa z kwadratową ścianą (3 punkty)
W graniastosłupie prostym o podstawie trójkąta prostokątnego najkrótsza krawędź podstawy ma długość $5$ cm. Ściana boczna tego graniastosłupa o największej powierzchni jest kwadratem o polu $169$ cm$^2$.
Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
390 cm$^3$. Bok kwadratowej ściany: $a=\sqrt{169}=13$ cm, i jest to zarazem przeciwprostokątna podstawy oraz wysokość bryły. Druga przyprostokątna: $5^2+x^2=13^2$, więc $x=12$ cm. $V = \frac{12 \cdot 5}{2} \cdot 13 = 390$. 3 pkt za wynik; 2 pkt za $a=13$ oraz $x=12$; 1 pkt za samo $a=13$ albo za zapisanie zależności $5^2+x^2=a^2$.