Egzamin ósmoklasisty — matematyka, maj 2024
19 zadań z arkusza CKE (maj 2024), 25 pkt: Egzamin: minuty nauki na diagramie, prawda czy fałsz; Egzamin: ułamki o mianowniku 4 między 3 a 5; Egzamin: średnia arytmetyczna i brakująca liczba; Egzamin: znak i porównanie dwóch wyrażeń z ułamkami. Polecenia, klucz odpowiedzi CKE i lekcje, w których…
Zadanie 1 — Egzamin: minuty nauki na diagramie, prawda czy fałsz (1 punkt)
Ala codziennie uczyła się języka hiszpańskiego. Na diagramie przedstawiono, ile czasu przeznaczyła na naukę tego języka w kolejnych dniach tygodnia od poniedziałku do soboty.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Ala przez cztery dni, od poniedziałku do czwartku, na naukę języka hiszpańskiego przeznaczyła łącznie $2$ godziny i $10$ minut.
2. Na naukę języka hiszpańskiego w sobotę Ala przeznaczyła o $40%$ czasu mniej niż w piątek.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
PP. Od poniedziałku do czwartku $25 + 30 + 40 + 35 = 130$ min $= 2$ h $10$ min; sobota $30$ min wobec piątku $50$ min: $\frac{20}{50} = 40%$ mniej.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 2 — Egzamin: ułamki o mianowniku 4 między 3 a 5 (1 punkt)
Wypisano ułamki spełniające łącznie następujące warunki:
• mianownik każdego z nich jest równy $4$
• licznik każdego z nich jest liczbą naturalną większą od mianownika
• każdy z tych ułamków jest większy od liczby $3$ oraz mniejszy od liczby $5$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich ułamków spełniających powyższe warunki jest
A. sześć.
B. siedem.
C. osiem.
D. dziewięć.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
B (siedem). $3 < \frac{n}{4} < 5 \iff 12 < n < 20$, więc $n = 13, 14, \ldots, 19$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 3 — Egzamin: średnia arytmetyczna i brakująca liczba (1 punkt)
Średnia arytmetyczna trzech liczb: $12$, $14$, $k$, jest równa $16$.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Liczba $k$ jest równa $22$.
2. Średnia arytmetyczna liczb: $12$, $14$, $k$, $11$, $17$, jest większa od $16$.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
PF. $12 + 14 + k = 3 \cdot 16 = 48$, więc $k = 22$; średnia pięciu liczb $\frac{12 + 14 + 22 + 11 + 17}{5} = \frac{76}{5} = 15{,}2 < 16$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 4 — Egzamin: znak i porównanie dwóch wyrażeń z ułamkami (1 punkt)
Dane są dwie liczby $x$ i $y$ zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:
$x = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)$
$y = \frac{4}{5} + \left(-\frac{4}{3}\right)$
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Liczba $y$ jest liczbą …
A. ujemną
B. dodatnią
Liczba $x$ jest … od liczby $y$.
C. mniejsza
D. większa
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
AC. $y = \frac{4}{5} - \frac{4}{3} = -\frac{8}{15} < 0$ (A); $x = -\frac{16}{15} < -\frac{8}{15}$ (C).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 5 — Egzamin: kąt α w trapezie z odcinkiem równoległym do ramienia (1 punkt)
Dany jest trapez $ABCD$, w którym bok $AB$ jest równoległy do boku $DC$. W tym trapezie poprowadzono odcinek $EC$ równoległy do boku $AD$, podano miary dwóch kątów oraz oznaczono kąt $\alpha$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kąt $\alpha$ ma miarę
A. $55°$
B. $50°$
C. $45°$
D. $20°$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
A ($55°$). Kąt $DAB = 180° - 135° = 45°$, kąt $DCE = 45°$, kąt $BCD = 180° - 80° = 100°$, więc $\alpha = 100° - 45° = 55°$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 6 — Egzamin: poprawne przekształcenia równania z trzema literami (1 punkt)
Dane jest równanie
$5x = \frac{y}{w}$, gdzie $x, y, w$ są różne od $0$.
Zadaniem Pawła było przekształcanie tego równania tak, aby wyznaczyć $x$, $y$, $w$. Paweł otrzymał trzy równania:
I. $x = \frac{y}{5w}$
II. $y = \frac{5x}{w}$
III. $w = \frac{y}{5x}$
Które z równań I–III są poprawnymi przekształceniami równania $5x = \frac{y}{w}$? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. I i II
B. II i III
C. I i III
D. I, II, III
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
C (I i III). $5x = \frac{y}{w} \Rightarrow x = \frac{y}{5w}$, $y = 5xw$, $w = \frac{y}{5x}$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 7 — Egzamin: potęgi trójki i dwójki, prawda czy fałsz (1 punkt)
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Iloczyn $3 \cdot 9^5$ jest równy wartości wyrażenia $3^{11}$.
2. Wyrażenie $\frac{2^8 \cdot 2^7}{2^{10}}$ można zapisać w postaci $2^5$.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
PP. $3 \cdot 9^5 = 3 \cdot 3^{10} = 3^{11}$; $\frac{2^8 \cdot 2^7}{2^{10}} = \frac{2^{15}}{2^{10}} = 2^5$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 8 — Egzamin: prawdopodobieństwo wyjęcia czerwonego balonu (1 punkt)
Karolina kupiła jedno pudełko balonów. W tabeli podano informacje dotyczące kolorów balonów oraz ich liczby w tym pudełku.
Karolina wyjmowała losowo po jednym balonie z pudełka. Pierwsze dwa wyjęte balony były w kolorze czerwonym.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci balon losowo wyjęty przez Karolinę będzie w kolorze czerwonym? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{5}{16}$
C. $\frac{4}{15}$
D. $\frac{1}{4}$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
C ($\frac{4}{15}$). Po wyjęciu dwóch czerwonych zostaje $30$ balonów, w tym $8$ czerwonych: $\frac{8}{30} = \frac{4}{15}$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 9 — Egzamin: przekształcanie wyrażenia z nawiasami (1 punkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyrażenie $x(x + 4) - 3(2x - 5)$ można przekształcić równoważnie do postaci
A. $x^2 + 2x - 5$
B. $x^2 - 2x + 5$
C. $x^2 + 2x - 15$
D. $x^2 - 2x + 15$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
D ($x^2 - 2x + 15$). $x^2 + 4x - 6x + 15 = x^2 - 2x + 15$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 10 — Egzamin: godzina odjazdu spóźnionego pociągu (1 punkt)
Podróż pociągiem z Olsztyna do Gdyni planowo trwa $2$ godziny i $54$ minuty. Pewnego dnia pociąg wyjechał z Olsztyna punktualnie o wyznaczonej godzinie, ale przyjechał do Gdyni z czterominutowym opóźnieniem o godzinie $17{:}31$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie
A. $14{:}27$
B. $14{:}41$
C. $14{:}31$
D. $14{:}33$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
D ($14{:}33$). Planowy przyjazd $17{:}31 - 4$ min $= 17{:}27$; odjazd $17{:}27 - 2$ h $54$ min $= 14{:}33$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 11 — Egzamin: wykres proporcjonalności: farba i pomalowana powierzchnia (1 punkt)
Na wykresie przedstawiono zależność pola pomalowanej powierzchni od ilości zużytej farby. Pole pomalowanej powierzchni jest wprost proporcjonalne do ilości zużytej farby.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. $18$ litrów tej farby wystarczy na pomalowanie $180$ m² powierzchni.
2. Na pomalowanie $125$ m² powierzchni wystarczy $12$ litrów tej farby.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
PF. Z wykresu $1$ litr na $10$ m²: $18$ l wystarczy na $180$ m²; na $125$ m² potrzeba $12{,}5$ l, a $12$ l wystarczy tylko na $120$ m².
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 12 — Egzamin: przesunięcie punktu w układzie współrzędnych (1 punkt)
W układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono pięć punktów $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ oraz $P_5$ (zobacz rysunek). Wszystkie współrzędne tych punktów są liczbami całkowitymi.
Punkt $P_1$ ma współrzędne $(-1, -2)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jeżeli współrzędną $x$ punktu $P_1$ zwiększymy o $4$, a współrzędną $y$ tego punktu zwiększymy o $3$, to otrzymamy współrzędne punktu
A. $P_2$
B. $P_3$
C. $P_4$
D. $P_5$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
A ($P_2$). $(-1 + 4, -2 + 3) = (3, 1) = P_2$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 13 — Egzamin: stosunek boków prostokąta złożonego z sześciu kwadratów (1 punkt)
Na rysunku przedstawiono prostokąt o bokach długości $a$ i $b$ podzielony na sześć kwadratów.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Stosunek długości boków $a : b$ tego prostokąta jest równy
A. $6 : 5$
B. $5 : 4$
C. $4 : 3$
D. $3 : 2$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
B ($5 : 4$). Mały kwadrat $1$, duży $3$, lewe po $2$: $a = 2 + 3 = 5$, $b = 3 + 1 = 4$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 14 — Egzamin: trójkąty prostokątne i pole 200 cm², prawda czy fałsz (1 punkt)
W trójkącie prostokątnym $ABC$ przyprostokątną $AC$ wydłużono o $7$ cm, a przyprostokątną $AB$ wydłużono o $12$ cm i otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny $ADE$ o polu równym $200$ cm² (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Przyprostokątna trójkąta $ADE$ jest równa $20$ cm.
2. Pole trójkąta $ABC$ jest równe $52$ cm².
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
PP. $\frac{1}{2}x^2 = 200 \Rightarrow x = 20$ cm; $AC = 13$ cm, $AB = 8$ cm, pole $ABC = \frac{13 \cdot 8}{2} = 52$ cm².
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 15 — Egzamin: pola ścian ostrosłupa zapisane ułamkami pola całkowitego (1 punkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe $P$, a jedna ściana boczna ma pole równe $\frac{2}{9}P$.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe …
A. $\frac{6}{9}P$
B. $\frac{8}{9}P$
Pole powierzchni podstawy tego ostrosłupa jest dwa razy … niż pole powierzchni jego jednej ściany bocznej.
C. mniejsze
D. większe
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
BC. Cztery ściany boczne: $4 \cdot \frac{2}{9}P = \frac{8}{9}P$ (B); podstawa $P - \frac{8}{9}P = \frac{1}{9}P$, czyli dwa razy mniej niż $\frac{2}{9}P$ (C).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 16 — Egzamin: z ilu elementów składa się zestaw puzzli (2 punkty)
Ela i Ania dostały w prezencie po jednym zestawie puzzli o takiej samej liczbie elementów. Ela ułożyła $\frac{2}{5}$ swoich puzzli, a Ania $\frac{1}{3}$ swoich. Dziewczynki ułożyły łącznie $440$ elementów.
Oblicz, z ilu elementów składa się jeden zestaw puzzli. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$600$ elementów. $\frac{2}{5}x + \frac{1}{3}x = 440 \Rightarrow \frac{11}{15}x = 440 \Rightarrow x = 600$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 17 — Egzamin: pole trapezu w prostokącie z dwoma równymi kątami (3 punkty)
Prostokąt $ABCD$ podzielono na trzy trójkąty: $AED$, $ACE$, $ABC$ (zobacz rysunek). Na rysunku podano również długości dwóch boków trójkąta $AED$ oraz zaznaczono dwa kąty trójkąta $ACE$, o takiej samej mierze $\alpha$.
Oblicz pole trapezu $ABCE$. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$650$ cm². $AE = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25$ cm, $EC = AE = 25$ cm (trójkąt $ACE$ równoramienny), $AB = 40$ cm; pole $ABCE = \frac{(40 + 25) \cdot 20}{2} = 650$ cm².
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 18 — Egzamin: kwota ze sprzedaży truskawek w trzech opakowaniach (3 punkty)
Pan Jan sprzedał w swoim sklepie $120$ kg truskawek. Połowę masy tych truskawek sprzedał w dużych opakowaniach, $10%$ masy truskawek, w średnich, a pozostałe truskawki w małych opakowaniach. W tabeli podano informacje dotyczące sprzedaży truskawek w sklepie pana Jana.
Oblicz, jaką kwotę otrzymał pan Jan ze sprzedaży wszystkich truskawek. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$2472$ zł. Masy: $60$ kg, $12$ kg, $48$ kg; opakowania: $60$ dużych, $24$ średnie, $192$ małe; $60 \cdot 18 + 24 \cdot 10 + 192 \cdot 6 = 1080 + 240 + 1152 = 2472$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 19 — Egzamin: różnica wysokości dwóch wież z klocków (2 punkty)
Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże (zobacz rysunek).
Krawędź sześcianu ma długość $10$ cm. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $9$ cm, a jego objętość jest równa $324$ cm³.
Oblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$2$ cm. $324 = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 9 \cdot H$, więc $H = 12$ cm; wieża I $10 + 12 = 22$ cm, wieża II $20$ cm.