Egzamin ósmoklasisty — matematyka, maj 2023
19 zadań z arkusza CKE (maj 2023), 25 pkt: Egzamin: składniki na gofry, prawda czy fałsz; Egzamin: hasło z sześcianu i wspólnego mianownika; Egzamin: które wyrażenie jest równe zero dla 1 i −1; Egzamin: ile książek zmieści się na drugiej półce. Polecenia, klucz odpowiedzi CKE i lekcje, w których…
Zadanie 1 — Egzamin: składniki na gofry, prawda czy fałsz (1 punkt)
Poniżej przedstawiono składniki potrzebne do przygotowania ciasta na $8$ gofrów.
Gofry
Składniki na $8$ gofrów:
• $1\frac{1}{2}$ szklanki mąki
• $1\frac{1}{3}$ szklanki mleka
• $2$ jajka
• $1\frac{1}{2}$ łyżeczki proszku do pieczenia
• $2$ łyżeczki cukru pudru
• $\frac{1}{2}$ szklanki oleju
• szczypta soli
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Do przygotowania ciasta na $40$ gofrów, przy zachowaniu właściwych proporcji odpowiednich składników, potrzeba $10$ jajek.
2. Do przygotowania ciasta na $72$ gofry, przy zachowaniu właściwych proporcji odpowiednich składników, potrzeba $12$ szklanek mleka.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
PP. $40 : 8 = 5$, więc jajek $5 \cdot 2 = 10$; $72 : 8 = 9$, więc mleka $9 \cdot 1\frac{1}{3} = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12$ szklanek.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 2 — Egzamin: hasło z sześcianu i wspólnego mianownika (1 punkt)
Dostęp do pliku jest chroniony hasłem $\ast\ast\mathrm{T}\ast\ast$ złożonym z dwóch liczb dwucyfrowych oddzielonych literą T. Pierwsza liczba hasła to sześcian liczby $4$, a druga to najmniejszy wspólny mianownik ułamków $\frac{1}{15}$ i $\frac{1}{25}$.
Jakie jest hasło do pliku? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. 24T45
B. 24T75
C. 64T45
D. 64T75
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
D (64T75). $4^3 = 64$; najmniejsza wspólna wielokrotność $15$ i $25$ to $75$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 3 — Egzamin: które wyrażenie jest równe zero dla 1 i −1 (1 punkt)
Dane są cztery wyrażenia:
$G = 2x^2 + 2$
$H = 2x^2 + 2x$
$J = 2x^2 - 2$
$K = 2x^2 - 2x$
Jedno z tych wyrażeń przyjmuje wartość $0$ dla $x = 1$ oraz dla $x = -1$.
Które to wyrażenie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. $G$
B. $H$
C. $J$
D. $K$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
C ($J$). $J = 2 \cdot 1^2 - 2 = 0$ oraz $J = 2 \cdot (-1)^2 - 2 = 0$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 4 — Egzamin: ile książek zmieści się na drugiej półce (1 punkt)
Marta układała książki na dwóch półkach o tych samych wymiarach wewnętrznych. Wszystkie książki były jednakowych rozmiarów.
Pierwszą półkę (I) całkowicie wypełniła $12$ książkami.
Na drugiej półce (II) postanowiła ustawić książki jedna przy drugiej na całej szerokości półki tak, aby zostało nad nimi wolne miejsce, w sposób pokazany na rysunku.
Uwaga: na rysunku przedstawiono całkowite wypełnienie książkami pierwszej półki (I) oraz częściowe wypełnienie książkami drugiej półki (II).
Ile najwięcej książek Marta mogła zmieścić na drugiej półce (II) przy wskazanym sposobie ustawienia? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. $7$
B. $8$
C. $10$
D. $11$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
B ($8$). Na półce I leży $6$ warstw po $2$ książki: grubość $21 : 6 = 3{,}5$ cm, długość $28 : 2 = 14$ cm; na półce II stojące: $28 : 3{,}5 = 8$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 5 — Egzamin: różnica i suma pierwiastków kwadratowych (1 punkt)
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Wyrażenie $\sqrt{81} - \sqrt{49}$ jest równe …
A. $2$
B. $\sqrt{32}$
Wyrażenie $\sqrt{144} + \sqrt{25}$ jest równe …
C. $13$
D. $17$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
AD. $\sqrt{81} - \sqrt{49} = 9 - 7 = 2$ (A); $\sqrt{144} + \sqrt{25} = 12 + 5 = 17$ (D).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 6 — Egzamin: grusze i jabłonie w sadzie (1 punkt)
W sadzie rosną drzewa owocowe: grusze i jabłonie. Liczba grusz jest o $40%$ większa od liczby jabłoni. Jabłoni jest o $50$ mniej niż grusz.
Ile jabłoni rośnie w tym sadzie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. $20$
B. $30$
C. $70$
D. $125$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
D ($125$). $40%$ liczby jabłoni to $50$, więc jabłoni jest $50 : 0{,}4 = 125$ (grusz $175$).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 7 — Egzamin: iloraz i iloczyn potęg (1 punkt)
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Iloraz $\frac{10^8}{5^8}$ jest równy …
A. $5^8$
B. $2^8$
Iloczyn $2^6 \cdot 25^3$ jest równy …
C. $50^9$
D. $10^6$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
BD. $\frac{10^8}{5^8} = \left(\frac{10}{5}\right)^8 = 2^8$ (B); $2^6 \cdot 25^3 = 2^6 \cdot 5^6 = 10^6$ (D).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 8 — Egzamin: para wyrażeń opisująca działania (1 punkt)
Liczbę $x$ powiększono o $7$, a następnie otrzymany wynik zwiększono $4$-krotnie.
Liczbę $y$ zwiększono $5$-krotnie, a otrzymany wynik powiększono o $3$.
Która para wyrażeń algebraicznych poprawnie opisuje wykonane działania? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. $4(x + 7)$ oraz $5y + 3$
B. $4x + 7$ oraz $5y + 3$
C. $4(x + 7)$ oraz $5(y + 3)$
D. $4x + 7$ oraz $5(y + 3)$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
A. Najpierw $x + 7$, potem cały wynik razy $4$: $4(x + 7)$; najpierw $5y$, potem $+3$: $5y + 3$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 9 — Egzamin: wierzchołki ostrosłupa i graniastosłupa (1 punkt)
Pewien ostrosłup ma $16$ wierzchołków.
Ile wierzchołków ma graniastosłup o takiej samej podstawie, jaką ma ten ostrosłup? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A. $17$
B. $30$
C. $32$
D. $45$
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
B ($30$). Ostrosłup ma $16 - 1 = 15$ wierzchołków podstawy, więc graniastosłup ma $2 \cdot 15 = 30$ wierzchołków.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 10 — Egzamin: odległość przystanków z planu w skali (1 punkt)
Na planie miasta odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy Dworzec do punktu oznaczającego przystanek autobusowy Galeria jest równa $8$ cm.
Plan miasta został wykonany w skali $1 : 4,000$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa
A. $320$ m
B. $500$ m
C. $3,200$ m
D. $5,000$ m
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
A ($320$ m). $8 \cdot 4,000 = 32,000$ cm $= 320$ m.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 11 — Egzamin: kule białe i czarne w urnie, prawda czy fałsz (1 punkt)
Z urny, w której jest wyłącznie $18$ kul białych i $12$ kul czarnych, losujemy $1$ kulę.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe $\frac{3}{5}$.
2. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest mniejsze od $\frac{1}{3}$.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
PF. Białych $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$; czarnych $\frac{12}{30} = \frac{2}{5} = \frac{6}{15}$, a $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$, więc $\frac{2}{5} > \frac{1}{3}$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 12 — Egzamin: obwód prostokąta ze środków dwóch boków (1 punkt)
W prostokącie $ABCD$ punkty $E$ i $F$ są środkami boków $BC$ i $CD$ (zobacz rysunek). Długość odcinka $EC$ jest równa $6$ cm, a długość odcinka $EF$ jest równa $10$ cm.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obwód prostokąta $ABCD$ jest równy
A. $64$ cm
B. $56$ cm
C. $40$ cm
D. $28$ cm
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
- B ($56$ cm). $|BC| = 2 \cdot 6 = 12$
- $|FC|^2 = 10^2 - 6^2 = 64$, $|FC| = 8$, $|CD| = 16$
- obwód $2 \cdot (12 + 16) = 56$ cm
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 13 — Egzamin: łamana w kratce, odcinki prostopadłe i równoległe (1 punkt)
Agata na dużej kartce w kratkę narysowała figurę złożoną z $40$ połączonych odcinków, które kolejno ponumerowała liczbami naturalnymi od $1$ do $40$.
Na rysunku przedstawiono fragment tej figury, złożony z ośmiu początkowych odcinków. Kolejne odcinki tej figury Agata narysowała według tej samej reguły, którą zastosowała do narysowania odcinków $1$–$8$.
Uwaga: wszystkie komórki kratki są takimi samymi kwadratami.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Proste zawierające odcinki o numerach $1$ oraz $7$ są wzajemnie prostopadłe.
2. Proste zawierające odcinki o numerach $5$ oraz $33$ są wzajemnie równoległe.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
- PP. Reguła powtarza się co $4$ odcinki
- odcinek $7$ jak $3$ (ukośny w dół), a ukośny w górę i ukośny w dół są przekątnymi kwadratów $2 \times 2$, więc są prostopadłe
- $33 = 8 \cdot 4 + 1$, więc odcinek $33$ jest jak $1$ i $5$, czyli równoległy do $5$
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 14 — Egzamin: czy z trzech figur da się ułożyć kwadrat (1 punkt)
Na rysunku przedstawiono trzy figury: kwadrat $F_1$, kwadrat $F_2$ i prostokąt $F_3$, oraz podano ich wymiary.
Czy z figur $F_1$, $F_2$, $F_3$ można ułożyć, bez rozcinania tych figur, kwadrat $K$ o polu $49$ cm²? Wybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
A. Tak,
B. Nie,
ponieważ
1. suma obwodów figur $F_2$ i $F_3$ jest równa obwodowi kwadratu $K$.
2. suma pól figur $F_1$, $F_2$ i $F_3$ jest równa $49$ cm².
3. suma długości dowolnych boków figur $F_1$, $F_2$ i $F_3$ nie jest równa $7$ cm.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
B3. Kwadrat $K$ o polu $49$ cm² ma bok $7$ cm, a żadna suma boków figur (po $5$ cm i $3$ cm) nie daje $7$ cm; zgodność pól ($25 + 9 + 15 = 49$) nie wystarcza.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 15 — Egzamin: kąty czworokąta z trójkątem równobocznym (1 punkt)
W czworokącie $ABCD$ boki $AB$, $CD$ i $DA$ mają równe długości, a kąt $BCD$ ma miarę $131°$. Przekątna $AC$ dzieli ten czworokąt na trójkąt równoboczny i na trójkąt równoramienny (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.
1. Kąt $ABC$ ma miarę $60°$.
2. Kąt $DAB$ ma miarę $98°$.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
- FP. Trójkąt $ACD$ jest równoboczny, więc $|AB| = |AC|$
- kąt $ACB = 131° - 60° = 71°$, więc kąt $ABC = 71°$
- kąt $BAC = 180° - 2 \cdot 71° = 38°$, kąt $DAB = 60° + 38° = 98°$
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 16 — Egzamin: cena biletu do teatru (2 punkty)
Cena biletu do teatru jest o $64$ zł większa od ceny biletu do kina. Za $4$ bilety do teatru i $5$ biletów do kina zapłacono łącznie $400$ zł.
Oblicz cenę jednego biletu do teatru. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$80$ zł. $4x + 5(x - 64) = 400$, $9x = 720$, $x = 80$ (bilet do kina $16$ zł).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 17 — Egzamin: długość pociągu (2 punkty)
Pociąg przebył ze stałą prędkością drogę $700$ metrów w czasie $50$ sekund.
Przy zachowaniu tej samej, stałej prędkości ten sam pociąg drogę równą jego długości przebył w czasie $15$ sekund.
Oblicz długość tego pociągu. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$210$ m. $v = \frac{700 \text{ m}}{50 \text{ s}} = 14$ m/s, $14 \cdot 15 = 210$ m (albo $\frac{x}{15} = \frac{700}{50}$).
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 18 — Egzamin: wysokość trójkąta z pola czworokąta (3 punkty)
W czworokącie $ABCD$ o polu $48$ cm² przekątna $AC$ ma długość $8$ cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: $ABC$ i $ACD$ (zobacz rysunek). Wysokość trójkąta $ACD$ poprowadzona z wierzchołka $D$ do prostej $AC$ jest równa $2$ cm.
Oblicz wysokość trójkąta $ABC$ poprowadzoną z wierzchołka $B$ do prostej $AC$. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$10$ cm. $48 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot h_B$, $48 = 8 + 4h_B$, $h_B = 10$.
Rozwiąż to zadanie z asystentem
Zadanie 19 — Egzamin: objętość klocka z figury z pięciu klocków (3 punkty)
Z pięciu prostopadłościennych klocków o jednakowych wymiarach ułożono figurę. Kształt i wybrane wymiary tej figury przedstawiono na rysunku.
Oblicz objętość jednego klocka. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź wg zasad oceniania CKE
$225$ cm³. Najkrótsza krawędź $23 - 20{,}5 = 2{,}5$ cm, najdłuższa $20{,}5 - 2{,}5 = 18$ cm, $V = 5 \cdot 2{,}5 \cdot 18 = 225$ cm³.