Zamknięcie działu 9

📌 W pigułce (cały dział)

Pierwiastek to odwrotność potęgi: bok kratki, krawędź klocków. Ładne wartości to kwadraty i sześciany wymierne. W $\sqrt{2}$ (pole 2) żaden ułamek nie trafia dokładnie — szacujesz, nie budujesz teorii. Drabinka: $a\le\sqrt{137}<a+1$ z 11² i 12². Iloczyn i iloraz pod hakiem wolno; suma nie. Wyłączanie to wystawienie kratki, którą już znasz. Na sali 121 i 144 ważą więcej niż kalkulator, którego nie ma.

📐 Słowniczek działu

Termin	Definicja w jednym zdaniu
pierwiastek kwadratowy	Nieujemna liczba, której kwadrat równa się $a$ ($a\ge 0$).
pierwiastek sześcienny	Liczba, której sześcian równa się $a$.
oszacowanie całkowitymi	$a^2\le n<(a+1)^2$ ⇒ $a\le\sqrt{n}<a+1$.
wyłączanie	Czynnik-kwadrat (sześcian) wychodzi przed hak.
włączanie	$k\sqrt{m}=\sqrt{k^2 m}$ (k≥0).
ten sam stopień	Dwa $\sqrt{,}$ albo dwa $\sqrt[3]{,}$; wtedy iloczyn/iloraz w jeden hak.

🎒 Sprawdzian działowy

1. $\sqrt{64}$, $\sqrt{\tfrac{9}{25}}$, $\sqrt[3]{-27}$, i przedział dla $\sqrt{2}$ między całkowitymi.

Sprawdź odpowiedź

$8$; $\frac{3}{5}$; $-3$; $1<\sqrt{2}<2$ (albo $1\le\sqrt{2}<2$ w duchu PP, choć równość nie zachodzi).

2. $a\le\sqrt{137}<a+1$. Co większe: $\sqrt{137}$ czy $11{,}5$? Policz $11{,}5^2$ (możesz $(11+0{,}5)^2=121+11+0{,}25$).

Sprawdź odpowiedź

$a=11$. $11{,}5^2=132{,}25<137$ ⇒ $\sqrt{137}>11{,}5$. Nadal $<12$.

3. Uprość $\sqrt{27}+\sqrt{12}$ i $\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}$. Które wolno skleić w jeden hak od razu?

Sprawdź odpowiedź

$3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$ (najpierw wyłącz, potem dodaj ogony). Iloczyn: $\sqrt{81}=9$; tu hak iloczynu od razu. Suma nie jest $\sqrt{39}$.

4. Porównaj $4\sqrt{3}$ i $\sqrt{50}$ włączaniem.

Sprawdź odpowiedź

$4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}$. $48<50$ ⇒ $4\sqrt{3}<\sqrt{50}$.

CZĘŚĆ II — Algebra — gdy liczba ma imię