Zamknięcie działu 18

📌 W pigułce (cały dział)

W trójkącie prostokątnym dwa kwadraty na przyprostokątnych składają się na kwadrat na przeciwprostokątnej: $a^2+b^2=c^2$, gdzie $c$ jest naprzeciw $90^\circ$. Drabina, ekran i przekątna pokoju to ten sam most. Na ósmoklasistę most jest jednokierunkowy: najpierw kąt prosty, potem boki — bez orzekania o kącie z samych długości.

Dowód to nie stos przykładów. Jeden kontrprzykład kończy „zawsze"; sto rysunków nie otwiera „dla każdego". Łańcuch na tym etapie jest krótki i wystarczający: kąty, które już umiesz nazwać, jedna para przystających, wniosek.

📐 Słowniczek działu

Termin	Definicja w jednym zdaniu
przyprostokątna	Bok trójkąta prostokątnego leżący na ramieniu kąta prostego.
przeciwprostokątna	Bok naprzeciw kąta prostego; najdłuższy.
twierdzenie Pitagorasa	W prostokątnym $a^2+b^2=c^2$ ($c$ to przeciwprostokątna).
twierdzenie odwrotne	Z $a^2+b^2=c^2$ wniosek o kącie prostym — poza tym etapem.
dowód	Łańcuch kroków pokazujący tezę dla każdego obiektu z założeń.
kontrprzykład	Jeden obiekt spełniający założenia, a nie tezę; zabija „dla każdego".
przystawanie	Trójkąty o tej samej „budowie" (bbb / bkb / kbk); boki i kąty parami równe.

🎒 Sprawdzian działowy

1. Maszt $9$ m, lina od szczytu do punktu na ziemi $12$ m od podstawy. Jaka jest długość liny — i skąd kąt prosty?

Sprawdź odpowiedź

Maszt i ziemia: $90^\circ$. Lina = przeciwprostokątna $\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ m ($3$–$4$–$5$ razy $3$).

2. Czy wolno napisać: „boki $6$, $8$, $10$, więc trójkąt jest prostokątny"? Co wolno, a czego nie?

Sprawdź odpowiedź

Nie wolno — to odwrotne. Wolno: jeśli treść dała kąt prosty (prostokąt, ściana i podłoga) i przyprostokątne $6$ i $8$, to skos jest $10$. Same trzy liczby na ósmoklasistę nie orzekają o kącie.

3. „Każdy prostokąt jest kwadratem." Kontrprzykład i zdanie, czemu jeden starczy.

Sprawdź odpowiedź

Prostokąt $3$ na $5$ (nierówne boki). Spełnia „prostokąt", nie spełnia „kwadrat". Jeden wyłom kończy „każdy". Tysiąc kwadratów (które są prostokątami) nie broni tezy.

4. W zadaniu (b) wskaż, gdzie w łańcuchu siedzi jedyna para przystających i która to cecha.

Sprawdź odpowiedź

$\triangle BAE\cong\triangle DFA$, cecha bkb: $AB=DF$, $BE=AD$, kąt $150^\circ$ między nimi. Z niej $AE=AF$. Innej pary łańcuch nie potrzebuje.