Zamknięcie działu 3
📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)
- Bryła sztywna — nieodkształcalny model ciała rozciągłego; jej ruch = postępowy (środek masy) + obrotowy.
- Środek masy $x_{śr} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ — leży bliżej większej masy.
- Moment siły $M = Fr$ rządzi obrotem; równowaga bryły: $\sum\vec F = 0$ i $\sum M = 0$.
- Dynamika obrotu: $M = I\varepsilon$ (analogia do $F = ma$); moment bezwładności $I$ zależy od masy, jej rozkładu i osi.
- Energia obrotowa $E_{obr} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$; toczenie = $\tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$.
- Moment pędu $L = I\omega$; bez zewnętrznego momentu sił $L = \text{const}$ (piruet).
- Wielka analogia: $F\leftrightarrow M$, $m\leftrightarrow I$, $v\leftrightarrow\omega$, $p\leftrightarrow L$.
📐 Słowniczek definicji działu 3
| Termin | Definicja (skrótowo) |
|---|---|
| Bryła sztywna | nieodkształcalny model ciała rozciągłego |
| Środek masy | punkt skupiający masę; $x_{śr}=\frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ |
| Moment siły | $M = F\cdot r$ (siła × ramię), N·m |
| Warunki równowagi bryły | $\sum\vec F = 0$ oraz $\sum M = 0$ |
| Moment bezwładności | obrotowa miara bezwładności; zależy od masy, rozkładu, osi (kg·m²) |
| Przyspieszenie kątowe | $\varepsilon = \Delta\omega/\Delta t$ (rad/s²) |
| II zasada dla obrotu | $M = I\varepsilon$ |
| Energia obrotowa | $E_{obr} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$ |
| Moment pędu | $L = I\omega$ (bryła), $L = mvr$ (punkt) |
| Zachowanie momentu pędu | bez zewnętrznego momentu sił $I\omega = \text{const}$ |
🎒 Sprawdzian działowy
Z1. Masy $1\ \text{kg}$ i $4\ \text{kg}$ na końcach pręta 1 m (nieważkiego). Gdzie środek masy?
Pokaż rozwiązanie
$x_{śr} = \tfrac{1\cdot 0 + 4\cdot 1}{5} = 0{,}8\ \text{m}$ (od lekkiej masy), czyli 0,2 m od ciężkiej.
Z2. Na huśtawce dziecko $30\ \text{kg}$ siedzi $2\ \text{m}$ od osi. Gdzie usiądzie drugie dziecko $40\ \text{kg}$, by była równowaga?
Pokaż rozwiązanie
$30 \cdot 2 = 40 \cdot r \Rightarrow r = \tfrac{60}{40} = 1{,}5\ \text{m}$ od osi.
Z3. Moment siły $M = 12\ \text{N}\cdot\text{m}$ działa na bryłę o $I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. Przyspieszenie kątowe?
Pokaż rozwiązanie
$\varepsilon = \tfrac{M}{I} = \tfrac{12}{3} = 4\ \text{rad/s}^2$.
Z4. Koło zamachowe $I = 0{,}8\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ wiruje z $\omega = 5\ \text{rad/s}$. Energia obrotowa?
Pokaż rozwiązanie
$E_{obr} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}8 \cdot 25 = 10\ \text{J}$.
Z5. Łyżwiarka wiruje z $\omega_1 = 3\ \text{rad/s}$ przy $I_1 = 4\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. Przyciąga ręce, zmniejszając $I$ do $1{,}5\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. Jaka będzie prędkość kątowa?
Pokaż rozwiązanie
$\omega_2 = \tfrac{I_1\omega_1}{I_2} = \tfrac{4\cdot 3}{1{,}5} = 8\ \text{rad/s}$ — wiruje znacznie szybciej (zachowanie momentu pędu).
Z6. Wyjaśnij analogię między ruchem postępowym a obrotowym (cztery pary wielkości).
Pokaż rozwiązanie
Siła $F$ ↔ moment siły $M$; masa $m$ ↔ moment bezwładności $I$; prędkość $v$ ↔ prędkość kątowa $\omega$; pęd $p = mv$ ↔ moment pędu $L = I\omega$. Stąd: $F = ma \leftrightarrow M = I\varepsilon$, $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2 \leftrightarrow \tfrac{1}{2}I\omega^2$, zachowanie pędu ↔ zachowanie momentu pędu.
🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)
- [ ] Wyznaczać środek masy i posługiwać się pojęciem bryły sztywnej.
- [ ] Liczyć moment siły i stosować warunki równowagi.
- [ ] Stosować $M = I\varepsilon$ i rozumieć moment bezwładności.
- [ ] Liczyć energię obrotową i całkowitą bryły toczącej się.
- [ ] Stosować moment pędu i zasadę jego zachowania.