Zamknięcie działu 5
📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)
- Siła sprężystości zwraca ciało ku równowadze: $F = -kx$ (prawo Hooke'a, małe odkształcenia).
- Drgania opisują wychylenie, amplituda, okres, częstotliwość; okres małych drgań nie zależy od amplitudy.
- Energia w drganiach przelewa się $E_k \leftrightarrow E_p$ (suma stała bez oporów); realne drgania są tłumione.
- Rezonans = duża amplituda, gdy wymuszenie trafia w częstotliwość własną.
- [R] Ruch harmoniczny $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$, $a=-\omega^2x$; okresy: wahadło $T=2\pi\sqrt{l/g}$ (bez masy!), sprężyna $T=2\pi\sqrt{m/k}$; $E_p=\tfrac12 kx^2$; wyznaczanie $g=\tfrac{4\pi^2 l}{T^2}$.
📐 Słowniczek definicji działu 5
| Termin | Definicja (skrótowo) |
|---|---|
| Prawo Hooke'a | $F=-kx$ — siła sprężystości proporcjonalna do wydłużenia, zwracająca |
| Wychylenie / amplituda | odległość od równowagi / jej wartość maksymalna |
| Okres / częstotliwość | czas jednego drgania / $f=1/T$ (Hz) |
| Rezonans mechaniczny | wzrost amplitudy przy zgodności wymuszenia z częstotliwością własną |
| [R] Współczynnik sprężystości | $k=F/x$ (N/m) |
| [R] Ruch harmoniczny | $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$; $\omega=2\pi/T$; $a=-\omega^2x$ |
| [R] Okres wahadła / sprężyny | $T=2\pi\sqrt{l/g}$ / $T=2\pi\sqrt{m/k}$ |
| [R] Energia potencjalna sprężystości | $E_p=\tfrac12 kx^2$ |
🎒 Sprawdzian działowy
Z1. Wahadło wykonuje 20 drgań w 40 s. Okres i częstotliwość?
Pokaż rozwiązanie
$T = 40/20 = 2\ \text{s}$; $f = 0{,}5\ \text{Hz}$.
Z2. Gdzie w czasie drgań ciało ma maksymalną prędkość, a gdzie maksymalne wychylenie?
Pokaż rozwiązanie
Maks. prędkość — w położeniu równowagi; maks. wychylenie = amplituda (tam prędkość = 0).
Z3. Wyjaśnij, na czym polega rezonans, i podaj jeden przykład pożyteczny i jeden groźny.
Pokaż rozwiązanie
Rezonans = wzrost amplitudy przy zgodności wymuszenia z częstotliwością własną. Pożyteczny: rozbujanie huśtawki, działanie instrumentów. Groźny: rozkołysanie mostu/konstrukcji, pękający kieliszek.
Z4. [R] Ciężarek na sprężynie ($k=80\ \tfrac{\text{N}}{\text{m}}$, $m=0{,}2\ \text{kg}$). Okres drgań? ($\pi\approx3{,}14$)
Pokaż rozwiązanie
$T = 2\pi\sqrt{m/k} = 6{,}28\sqrt{0{,}2/80} = 6{,}28\sqrt{0{,}0025} = 6{,}28\cdot 0{,}05 \approx 0{,}31\ \text{s}$.
Z5. [R] Jak zmieni się okres ciężarka na sprężynie, gdy masę zwiększymy czterokrotnie?
Pokaż rozwiązanie
$T \sim \sqrt{m}$, więc czterokrotny wzrost masy → okres ×2.
Z6. [R] Wahadło o długości $2{,}45\ \text{m}$ ma okres $3{,}14\ \text{s}$. Oszacuj $g$. ($\pi^2\approx9{,}87$)
Pokaż rozwiązanie
$g = \tfrac{4\pi^2 l}{T^2} = \tfrac{4\cdot 9{,}87\cdot 2{,}45}{3{,}14^2} = \tfrac{96{,}7}{9{,}86} \approx 9{,}8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)
- [ ] Opisać siłę sprężystości (prawo Hooke'a) i wielkości drgań.
- [ ] Analizować przemiany energii w ruchu drgającym.
- [ ] Opisać rezonans i odróżnić go od drgań wymuszonych.
- [ ] Zaplanować doświadczenia z wahadłem i sprężyną.
- [ ] [R] Opisać ruch harmoniczny, stosować wzory na okres i energię, wyznaczać $g$ wahadłem.