Logika i zbiory — gramatyka pewności
Wstęp do działu
Matematyka ma jedną supermoc, której nie ma żadna inna nauka: potrafi być pewna. Fizyk mówi „na tyle, na ile wiemy". Historyk mówi „źródła sugerują". Matematyk mówi „udowodniono", i to znaczy: prawda, na zawsze, bez wyjątku, dla nieskończenie wielu przypadków naraz. Twierdzenie Pitagorasa było prawdziwe w starożytnej Grecji, jest prawdziwe teraz i będzie prawdziwe za milion lat na drugim końcu galaktyki.
Ale skąd ta pewność? Nie z tego, że „sprawdziliśmy i wyszło". Bierze się z języka: precyzyjnego na tyle, że nie zostawia miejsca na „chyba" i „raczej". Zanim ruszysz w przygodę z liczbami, funkcjami i przestrzenią, poznasz właśnie ten język: logikę (jak budować zdania, którym można ufać) i zbiory (jak mówić o wielu obiektach naraz). To jest gramatyka pewności.
Ten dział jest warsztatem. Nie zobaczysz tu jeszcze wielkich twierdzeń: zobaczysz narzędzia, którymi je się buduje. Gdy w Dziale 2 spotkasz słynny dowód, że $\sqrt{2}$ nie jest ułamkiem, użyjesz „dowodu nie wprost" z §1.5. Gdy będziesz czytał, że „każda funkcja kwadratowa ma oś symetrii", to „każda" jest twierdzeniem o wszystkich naraz. A gdy zdanie „nieprawda, że wszyscy zdali" zamienisz na „ktoś nie zdał", wykonasz zaprzeczenie, które trzeba umieć zrobić bezbłędnie.
Mapa pojęć działu
GRAMATYKA PEWNOŚCI
|
┌─────────────┬───────┴────────┬──────────────┐
zdanie spójniki i kwantyfikatory zbiory
(prawda/ tabelki prawdy „dla każdego" (worki na
fałsz) ∧ ∨ ⇒ ⇔ „istnieje" obiekty)
| | ∀ ∃ ∈ ⊂ ∪ ∩
negacja De Morgana negacja De Morgan
¬p ¬(p∧q) kwantyfikatorów dla zbiorów
|
DOWÓD: kontrprzykład, wprost, nie wprost
(jak zamienić „wygląda" w „na pewno")
Jednostki w tym dziale
- 1.5 Jak wygrać spór dowodem — kontrprzykład, dowód wprost i nie wprost