Logika i zbiory — gramatyka pewności

Wstęp do działu

Matematyka ma jedną supermoc, której nie ma żadna inna nauka: potrafi być pewna. Fizyk mówi „na tyle, na ile wiemy". Historyk mówi „źródła sugerują". Matematyk mówi „udowodniono", i to znaczy: prawda, na zawsze, bez wyjątku, dla nieskończenie wielu przypadków naraz. Twierdzenie Pitagorasa było prawdziwe w starożytnej Grecji, jest prawdziwe teraz i będzie prawdziwe za milion lat na drugim końcu galaktyki.

Ale skąd ta pewność? Nie z tego, że „sprawdziliśmy i wyszło". Bierze się z języka: precyzyjnego na tyle, że nie zostawia miejsca na „chyba" i „raczej". Zanim ruszysz w przygodę z liczbami, funkcjami i przestrzenią, poznasz właśnie ten język: logikę (jak budować zdania, którym można ufać) i zbiory (jak mówić o wielu obiektach naraz). To jest gramatyka pewności.

Ten dział jest warsztatem. Nie zobaczysz tu jeszcze wielkich twierdzeń: zobaczysz narzędzia, którymi je się buduje. Gdy w Dziale 2 spotkasz słynny dowód, że $\sqrt{2}$ nie jest ułamkiem, użyjesz „dowodu nie wprost" z §1.5. Gdy będziesz czytał, że „każda funkcja kwadratowa ma oś symetrii", to „każda" jest twierdzeniem o wszystkich naraz. A gdy zdanie „nieprawda, że wszyscy zdali" zamienisz na „ktoś nie zdał", wykonasz zaprzeczenie, które trzeba umieć zrobić bezbłędnie.

Mapa pojęć działu

                      GRAMATYKA PEWNOŚCI
                              |
        ┌─────────────┬───────┴────────┬──────────────┐
      zdanie      spójniki i        kwantyfikatory    zbiory
    (prawda/     tabelki prawdy    „dla każdego"     (worki na
     fałsz)       ∧  ∨  ⇒  ⇔        „istnieje"        obiekty)
        |             |             ∀     ∃          ∈ ⊂ ∪ ∩
     negacja      De Morgana      negacja          De Morgan
      ¬p           ¬(p∧q)        kwantyfikatorów   dla zbiorów
                              |
                    DOWÓD: kontrprzykład, wprost, nie wprost
                    (jak zamienić „wygląda" w „na pewno")

Jednostki w tym dziale

• 1.1 Zdanie, które ma wartość — prawda, fałsz, zaprzeczenie
• 1.2 Spójniki, które budują myśli — koniunkcja, alternatywa, implikacja, równoważność
• 1.3 „Dla każdego" i „istnieje" — kwantyfikatory jako język precyzji
• 1.4 Worki na obiekty — zbiory, działania, zawieranie
• 1.5 Jak wygrać spór dowodem — kontrprzykład, dowód wprost i nie wprost
• 1.6 Marzenie o języku, który nie kłamie — historia logiki i polska złota era

---