Zamknięcie działu 1

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Ten dział dał Ci język pewności: narzędzia, którymi matematyka mówi tak, żeby nie dało się jej źle zrozumieć, i buduje prawdy raz na zawsze.

Zdanie logiczne ma jedną z dwóch wartości: prawda (1) / fałsz (0). Negacja $\lnot$ je odwraca. Zaprzeczenie ≠ przeciwieństwo.
Spójniki: $\land$ (i; oba), $\lor$ (lub; przynajmniej jedno), $\Rightarrow$ (jeśli…to; fałsz tylko z „prawda ⇒ fałsz"), $\Leftrightarrow$ (ta sama wartość). Zaprzeczanie: prawa De Morgana.
Kwantyfikatory: $\forall$ („dla każdego", prawda bez wyjątku), $\exists$ („istnieje", jeden świadek wystarcza). Negacja przełącza $\forall \leftrightarrow \exists$ i neguje warunek.
Zbiory: worki na obiekty; $\in, \subset, \varnothing$; działania $\cup, \cap, \setminus$ to logika w workach. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Dowód: kontrprzykład (obala „zawsze"), wprost (łańcuch implikacji), nie wprost (przez sprzeczność). Próbki nie dowodzą.

Motyw, który łączy cały dział: logika i zbiory to jedna struktura w dwóch przebraniach; „i / lub / nie" to „iloczyn / suma / dopełnienie". Zobaczysz to samo echo w rachunku prawdopodobieństwa (Część V), gdzie zdarzenia to zbiory, a działania na nich to dokładnie te stąd.

📐 Słowniczek definicji działu 1

Zdanie logiczne: wypowiedź orzekająca o wartości prawda (1) / fałsz (0).
Negacja $\lnot p$: zdanie o wartości odwrotnej do $p$.
Koniunkcja $p \land q$: prawda ⇔ oba są prawdą.
Alternatywa $p \lor q$: prawda ⇔ przynajmniej jedno jest prawdą.
Implikacja $p \Rightarrow q$: fałsz tylko dla „prawda ⇒ fałsz".
Równoważność $p \Leftrightarrow q$: prawda ⇔ $p$ i $q$ mają tę samą wartość.
Prawa De Morgana: $\lnot(p\land q)\Leftrightarrow\lnot p\lor\lnot q$; $\lnot(p\lor q)\Leftrightarrow\lnot p\land\lnot q$ (i analogicznie dla zbiorów).
Kwantyfikator $\forall$ / $\exists$: „dla każdego" / „istnieje".
Zbiór, $\in$, $\subset$, $\varnothing$: kolekcja elementów; należenie; zawieranie; zbiór pusty.
$\cup, \cap, \setminus$: suma, iloczyn (część wspólna), różnica zbiorów.
Kontrprzykład / dowód wprost / dowód nie wprost, trzy podstawowe techniki uzasadniania.

🎒 Sprawdzian działowy

Podaj wartość i zaprzeczenie zdania „$7$ jest liczbą złożoną".
Zbuduj tabelkę prawdy zdania $\lnot(p \land q)$ i porównaj ją z $\lnot p \lor \lnot q$ (prawo De Morgana).
Zaprzecz zdaniu „Każda liczba rzeczywista ma odwrotność". Oceń wartość obu zdań. (wskazówka: kłopotliwa jest jedna liczba)
Dla $A = {1,2,3,4,6,12}$ (dzielniki 12) i $B = {1,2,4,8}$ (dzielniki 8) wyznacz $A \cap B$ i $A \setminus B$. Co przedstawia $A \cap B$?
Obal kontrprzykładem: „Iloczyn dwóch liczb niewymiernych jest niewymierny". (wskazówka: pomyśl o $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$)
Udowodnij wprost: „Jeśli $n$ jest nieparzyste, to $n+1$ jest parzyste".

Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. „$7$ jest liczbą złożoną": fałsz ($7$ jest pierwsza). Zaprzeczenie: „$7$ nie jest liczbą złożoną"; prawda.

2. Tabelka $\lnot(p\land q)$: dla $p,q = 1,1/1,0/0,1/0,0$ mamy $p\land q = 1,0,0,0$, więc $\lnot(p\land q) = 0,1,1,1$. Tabelka $\lnot p\lor\lnot q$: $0,1,1,1$. Identyczne, to prawo De Morgana.

3. „Każda liczba rzeczywista ma odwrotność" = $\forall x\ (x \text{ ma } \tfrac1x)$: fałsz (kłopotliwe $0$: $\tfrac10$ nie istnieje). Zaprzeczenie: „istnieje liczba bez odwrotności"; prawda (świadek $0$).

4. $A={1,2,3,4,6,12}$ (dzielniki $12$), $B={1,2,4,8}$ (dzielniki $8$). $A\cap B={1,2,4}$: wspólne dzielniki, czyli dzielniki $\text{NWD}(12,8)=4$. $A\setminus B={3,6,12}$.

5. „Iloczyn dwóch niewymiernych jest niewymierny": fałsz. Kontrprzykład: $\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$, oba czynniki niewymierne, a iloczyn $2$ jest wymierny.

6. Dowód wprost. Liczba nieparzysta to $n=2k+1$. Wtedy $n+1 = 2k+2 = 2(k+1)$: dwójka razy coś całkowitego, czyli parzyste. ∎

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

ocenić wartość logiczną zdania prostego i złożonego oraz je zaprzeczyć (w tym prawami De Morgana);
zapisać i zaprzeczyć zdanie z kwantyfikatorem $\forall$ / $\exists$;
posługiwać się zbiorami: zapisem, symbolami $\in, \subset, \varnothing$ i działaniami $\cup, \cap, \setminus$;
obalić fałszywe twierdzenie kontrprzykładem i przeprowadzić prosty dowód wprost oraz opisać ideę dowodu nie wprost.