Zamknięcie działu 2

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw przewodni: liczby rozrastały się, gdy trafiały na ścianę. W ℕ nie dawało się odejmować → ℤ. W ℤ nie dawało się dzielić → ℚ. W ℚ nie było liczby na przekątną kwadratu → ℝ. Każde piętro rozwiązuje konkretny problem, a wszystkie razem dają pełną, gęstą oś liczb rzeczywistych.

Piętra liczb: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$; wymierne = ułamki (rozwinięcie skończone/okresowe), niewymierne = reszta (nieskończone, nieokresowe).
$\sqrt{2}$ jest niewymierna: słynny dowód nie wprost.
Oś i odległość: $|x|$ = odległość od zera, $|a-b|$ = odległość między liczbami.
Procenty: zmiany jako mnożenie, procenty się mnożą (nie dodają), procent składany rośnie wykładniczo.
Przybliżenia: błąd bezwzględny i względny; zaokrąglaj na końcu.

📐 Słowniczek definicji działu 2

Liczby ℕ, ℤ, ℚ, ℝ: naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste.
Liczba wymierna / niewymierna: da się / nie da się zapisać ułamkiem $\frac{p}{q}$.
Oś liczbowa: prosta, na której każdej liczbie odpowiada punkt.
Wartość bezwzględna $|x|$: odległość $x$ od zera.
Procent, punkt procentowy: setna część; różnica dwóch wartości procentowych.
Procent składany: $K(1+\frac{p}{100})^n$.
Błąd bezwzględny / względny: $|x-\tilde{x}|$ oraz $\frac{|x-\tilde{x}|}{|x|}$.

🎒 Sprawdzian działowy

Uporządkuj rosnąco: $-\frac{3}{2}$, $\sqrt{2}$, $1{,}4$, $-1$, $0$. Które są niewymierne?
Zamień $0{,}1(6)$ (czyli $0{,}1666\ldots$) na ułamek zwykły.
Oblicz odległość na osi między $-\frac{7}{2}$ a $2$.
Bluza kosztuje $120$ zł. Cena rośnie o $10%$, potem spada o $10%$. Ile kosztuje? O ile procent zmieniła się względem początku?
Wyjaśnij w 2 do 3 zdaniach, dlaczego $\sqrt{2}$ nie może być ułamkiem (idea dowodu).
Przybliżamy $\frac{1}{3} \approx 0{,}33$. Podaj błąd bezwzględny i względny.

Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. Wartości: $-\tfrac32=-1{,}5$, $\sqrt2\approx1{,}41$, $1{,}4$, $-1$, $0$. Rosnąco: $-\tfrac32<-1<0<1{,}4<\sqrt2$. Niewymierna tylko $\sqrt2$.

2. $0{,}1(6)=0{,}1666\ldots=\tfrac16$ (bo $0{,}1666\ldots$ to jedna szósta).

3. Odległość $=|-\tfrac72-2|=|-\tfrac{11}{2}|=\tfrac{11}{2}=5{,}5$.

4. $120\cdot1{,}1\cdot0{,}9=120\cdot0{,}99=118{,}80$ zł. Względem początku: spadek o $1{,}20$ zł, czyli o $1%$ (wzrost i spadek o tyle samo procent nie znoszą się; liczone od różnych podstaw).

5. Zakładamy $\sqrt2=\tfrac pq$ (skrócony); po podniesieniu do kwadratu wychodzi, że $p$ i $q$ są oba parzyste, więc ułamek dało się skrócić: sprzeczność. Zatem $\sqrt2$ nie jest ułamkiem.

6. $\tfrac13\approx0{,}33$. Bezwzględny $=|\tfrac13-0{,}33|=|0{,}3333\ldots-0{,}33|=\tfrac{1}{300}\approx0{,}0033$. Względny $=\tfrac{1/300}{1/3}=\tfrac{1}{100}=1%$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

rozróżniać zbiory ℕ/ℤ/ℚ/ℝ i klasyfikować liczby (w tym wymierne vs niewymierne);
odtworzyć ideę dowodu niewymierności $\sqrt{2}$;
posługiwać się osią liczbową i wartością bezwzględną jako odległością;
liczyć procenty, wzrosty/spadki i procent składany oraz nie mylić punktów procentowych z procentami;
zaokrąglać świadomie i szacować błąd bezwzględny oraz względny.