Zamknięcie działu 3

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: potęga, pierwiastek i logarytm to jedno pytanie zadane z trzech stron. Potęga mnoży, pierwiastek pyta o podstawę, logarytm o wykładnik. Kto zobaczy ten trójkąt, ogarnia cały dział.

  • Potęga: $a^n$ = mnożenie $n$ razy; prawa działań; rozszerzenia $a^0=1$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$; notacja naukowa.
  • Pierwiastek: odwrotność potęgi, $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$, $\sqrt{a^2}=|a|$.
  • Logarytm: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c=b$; szukany wykładnik.
  • Skala logarytmiczna: równy krok = ×10 (pH, Richter, decybele).
  • Własności logarytmów: mnożenie → dodawanie; to cień praw potęg (iloczyn, iloraz, potęga, z dowodem).

📐 Słowniczek definicji działu 3

  • Potęga $a^n$: mnożenie $a$ przez siebie $n$ razy; podstawa $a$, wykładnik $n$.
  • Notacja naukowa: zapis $m \cdot 10^k$.
  • Pierwiastek $\sqrt[n]{a}$: liczba, która do potęgi $n$ daje $a$ (przy parzystym $n$: nieujemna, z $a\ge0$); dla $a\ge0$ równa $a^{1/n}$.
  • Logarytm $\log_a b$: wykładnik, do którego podnieść $a$, by dostać $b$.
  • Skala logarytmiczna: równe odstępy oznaczają mnożenie.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Oblicz: $2^{-4}$, $27^{1/3}$, $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.

  2. Uprość: $\frac{x^5 \cdot x^{-3}}{x^{-1}}$.

  3. Oblicz z definicji: $\log_3 27$, $\log_{10} 0{,}1$, $\log_2 \frac{1}{8}$.

  4. Trzęsienia o sile $4$ i $7$ (Richter): ile razy różni się amplituda drgań?

  5. Wyjaśnij trójkątem, czym różnią się pytania rozwiązywane potęgą, pierwiastkiem i logarytmem.

  6. (rozszerzenie) Zapisz jako jeden logarytm: $2\log_3 x - \log_3 y$.

Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. $2^{-4}=\tfrac{1}{16}$; $;27^{1/3}=\sqrt[3]{27}=3$; $;\left(\tfrac23\right)^{-2}=\left(\tfrac32\right)^2=\tfrac94$.

2. $\tfrac{x^5\cdot x^{-3}}{x^{-1}}=\tfrac{x^{2}}{x^{-1}}=x^{2-(-1)}=x^3$.

3. $\log_3 27=3$ ($3^3=27$); $;\log_{10}0{,}1=-1$ ($10^{-1}=0{,}1$); $;\log_2\tfrac18=-3$ ($2^{-3}=\tfrac18$).

4. Różnica $7-4=3$ stopnie, każdy ×10 amplitudy → $10^3=1000$ razy.

5. Weź jedno równanie $a^c=b$. Potęga: znasz $a,c$, szukasz wyniku $b$. Pierwiastek: znasz wynik $b$ i wykładnik $c$, szukasz podstawy $a$. Logarytm: znasz $a,b$, szukasz wykładnika $c$. Jedna relacja, trzy pytania. 6. (rozszerzenie) $2\log_3 x-\log_3 y=\log_3(x^2)-\log_3 y=\log_3\frac{x^2}{y}$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • stosować prawa potęg (wykładniki całkowite i wymierne) oraz notację naukową;
  • łączyć pierwiastki z potęgami ułamkowymi i pamiętać $\sqrt{a^2}=|a|$;
  • obliczać proste logarytmy z definicji i widzieć trójkąt potęga–pierwiastek–logarytm;
  • wyjaśnić skalę logarytmiczną i jej zastosowania (pH, Richter, decybele);
  • stosować i uzasadniać własności logarytmów (iloczyn, iloraz, potęga);
  • (rozszerzenie) zmieniać podstawę logarytmu.