Zamknięcie działu 4

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: litera to puste miejsce na liczbę, i dzięki niej mówimy o wszystkich liczbach naraz oraz dowodzimy. To domyka Część I: język pewności (Dział 1) plus liczby (Działy 2 i 3) plus litery (Dział 4) dają pełen warsztat, na którym za chwilę stanie bohaterka całej opowieści: funkcja (Część II).

  • Wyrażenie algebraiczne: przepis z literami; liczysz jego wartość, wstawiając liczby; upraszczasz przez redukcję i wyłączanie czynnika.
  • Wzory skróconego mnożenia: $(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$; $;a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Pułapka: $(a+b)^2 \ne a^2+b^2$.
  • (R) Sześciany: $(a\pm b)^3$; rozkład sumy/różnicy sześcianów.
  • Tożsamość vs równanie; tożsamość dowodzimy przekształceniem (algebra jako narzędzie prawdy).

📐 Słowniczek definicji działu 4

  • Zmienna / wyrażenie algebraiczne: litera-puste miejsce; przepis na obliczenie.
  • Redukcja wyrazów podobnych; wyłączanie wspólnego czynnika: podstawowe uproszczenia.
  • Wzory skróconego mnożenia: $(a\pm b)^2$, $a^2-b^2$ (i sześciany w R).
  • Tożsamość: równość prawdziwa dla wszystkich liter; równanie, dla niektórych.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Oblicz wartość $a^2 - b^2$ dla $a = 7$, $b = 3$: dwoma sposobami (wprost i ze wzoru na iloczyn).
  2. Rozwiń: $(3x - 1)^2$.
  3. Rozłóż na czynniki: $x^2 - 49$; $;9a^2 - 4$.
  4. Policz sprytnie: $102 \cdot 98$.
  5. Udowodnij tożsamość: $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x$.
  6. Wyjaśnij, dlaczego dowód tożsamości (przekształcenie) jest mocniejszy niż sprawdzenie kilku liczb (odwołaj się do §1.5).
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. Wprost: $a^2-b^2=49-9=40$. Ze wzoru: $(a-b)(a+b)=(7-3)(7+3)=4\cdot10=40$.

2. $(3x-1)^2=9x^2-6x+1$ (pamiętaj o środkowym $-2\cdot3x\cdot1=-6x$).

3. $x^2-49=(x-7)(x+7)$; $;9a^2-4=(3a)^2-2^2=(3a-2)(3a+2)$.

4. $102\cdot98=(100+2)(100-2)=100^2-2^2=10000-4=9996$.

5. $(x+1)^2-(x-1)^2=(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)=4x$. ∎

6. Sprawdzenie kilku liczb potwierdza tożsamość tylko dla tych liczb, a mogą istnieć inne, dla których zawodzi (asymetria: jeden kontrprzykład obala „zawsze", żaden zbiór przykładów go nie dowodzi). Przekształcenie na literach obejmuje wszystkie wartości naraz, więc daje pewność.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • obliczać i upraszczać wyrażenia algebraiczne (redukcja, wyłączanie czynnika);
  • stosować wzory skróconego mnożenia i widzieć kwadrat sumy geometrycznie;
  • (rozszerzenie) posługiwać się wzorami stopnia trzeciego;
  • odróżnić tożsamość od równania i udowodnić prostą tożsamość przez przekształcenie.