Zamknięcie działu 5

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: funkcja to maszyna „każdemu wejściu dokładnie jedno wyjście", a wykres to jej zdjęcie, z którego czyta się własności. Od tego działu funkcja będzie bohaterką każdej kolejnej opowieści: w Dziale 6 nauczysz się przenosić i odbijać jej zdjęcia, w Działach 7 do 9 poznasz jej najważniejsze wcielenia.

  • Funkcja, dziedzina, zbiór wartości: maszyna, dopuszczalne wejścia, faktyczne wyjścia; zapis $f(x)$.
  • Wykres: punkty $(x, f(x))$; test pionowej prostej; $(a,b)$ na wykresie $\iff f(a) = b$.
  • Własności z wykresu: miejsca zerowe ($f(x) = 0$), znak (nad/pod osią, przedziałami), monotoniczność (rosnąca/malejąca na przedziałach), wartości największa i najmniejsza na przedziale.
  • (R) Symetrie: parzysta $f(-x) = f(x)$, nieparzysta $f(-x) = -f(x)$, okresowa $f(x+T) = f(x)$.

📐 Słowniczek definicji działu 5

  • Funkcja: przyporządkowanie: każdemu elementowi dziedziny dokładnie jeden element zbioru wyjść.
  • Dziedzina / zbiór wartości: dopuszczalne wejścia / faktyczne wyjścia.
  • Wykres funkcji: zbiór punktów $(x, f(x))$.
  • Miejsce zerowe: argument, dla którego $f(x) = 0$.
  • Funkcja rosnąca / malejąca (na przedziale): większe wejście daje większe / mniejsze wyjście.
  • (R) Funkcja parzysta / nieparzysta / okresowa: $f(-x)=f(x)$ / $f(-x)=-f(x)$ / $f(x+T)=f(x)$.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Rozstrzygnij, czy przyporządkowanie „każdej liczbie dodatniej: liczbę od niej mniejszą" jest funkcją.
  2. Dla $f(x) = \frac{x-4}{x+2}$ podaj dziedzinę naturalną i oblicz $f(4)$ oraz $f(0)$.
  3. Miejsca zerowe: $f(x) = 5x - 20$; $;g(x) = x^2 - 9$.
  4. Z wykresu z §5.2 odczytaj: znak $f$ na przedziale $(3, \infty)$ i jedną liczbę $x$, dla której $f$ maleje w jej okolicy.
  5. Funkcja rosnąca $f$, której wykres rysuje się jedną kreską (bez odrywania ołówka), spełnia $f(1) = -2$ i $f(6) = 4$. Wyjaśnij, dlaczego $f$ ma miejsce zerowe między $1$ a $6$, i dlaczego dokładnie jedno. (Wskazówka: §5.3 + dowód nie wprost.)
  6. (R) Zbadaj parzystość $f(x) = x^3 - 5x$ i podaj, przez jaki punkt przechodzi wykres, skoro przechodzi przez $(2, -2)$.
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. NIE, dla wejścia $5$ „liczba mniejsza" to i $4$, i $3$, i $4{,}99$…: wiele wyjść. (Gdyby przyporządkowywać największą liczbę całkowitą mniejszą od danej: byłaby to funkcja: wyjście jedno.)

2. Mianownik $\ne 0$: $x \ne -2$. $f(4) = \frac{0}{6} = 0$ (więc $4$ to miejsce zerowe); $f(0) = \frac{-4}{2} = -2$.

3. $5x - 20 = 0 \Rightarrow x = 4$. $;x^2 - 9 = (x-3)(x+3) = 0 \Rightarrow x = 3$ lub $x = -3$.

4. Na $(3, \infty)$ krzywa biegnie nad osią: $f(x) > 0$. Maleje np. w okolicy $x = 0$ (między górką a dolinką).

5. Istnienie: $f(1) < 0 < f(6)$, a funkcja przechodzi od wartości ujemnej do dodatniej, po drodze musi przyjąć zero (wykres nie przeskoczy osi, nie odrywając ołówka). Jedyność: gdyby zer było dwa, $x_1 < x_2$, to rosnącość dałaby $0 = f(x_1) < f(x_2) = 0$; sprzeczność.

6. $f(-x) = -x^3 + 5x = -(x^3 - 5x) = -f(x)$: nieparzysta. Skoro $(2, -2)$ na wykresie, to i $(-2, 2)$: $f(-2) = -f(2) = 2$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • rozpoznać funkcję i wyznaczyć jej dziedzinę (także naturalną, ze wzoru);
  • czytać wykres: wartości, miejsca zerowe, znak, monotoniczność, wartości ekstremalne na przedziale;
  • rozstrzygnąć, czy krzywa jest wykresem funkcji (test pionowej prostej);
  • (rozszerzenie) zbadać parzystość, nieparzystość i okresowość.