Zamknięcie działu 6

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: wykresów-kształtów jest kilka; resztę robi przeprowadzka, a w rozszerzeniu także lustro i guma. Czytaj wzór jak listę ruchów: wnętrze działa na wejście (na odwrót), zewnętrze na wyjście (normalnie). Ten rachunek kostiumów spłaci się natychmiast, w Dziale 7 postać kanoniczna paraboli okaże się zwykłym „$y = ax^2$ po przeprowadzce".

  • Przesunięcie wykresu: $y = f(x-a) + b$ = ruch o $a$ w poziomie i $b$ w pionie; minus w nawiasie → w prawo.
  • (R) Wektor $[a,b]$: przepis przesunięcia; punkt $(x,y) \mapsto (x+a,, y+b)$; składanie = dodawanie.
  • (R) Odbicia: $-f(x)$ względem osi poziomej, $f(-x)$ względem pionowej, $-f(-x)$ to obrót o $180°$.
  • [poza podstawą] Skalowanie i moduły: $c,f(x)$ pionowo, $f(cx)$ poziomo-odwrotnie, $|f(x)|$ wynurza spód, $f(|x|)$ kseruje prawą stronę.

📐 Słowniczek definicji działu 6

  • Przesunięcie wykresu: $y = f(x-a)+b$, o $a$ w poziomie i $b$ w pionie.
  • (R) Wektor $[a, b]$: przepis przesunięcia o $a$ w poziomie i $b$ w pionie; wektor przeciwny $[-a, -b]$ cofa przesunięcie.
  • (R) Odbicie względem osi poziomej / pionowej: $y = -f(x)$ / $y = f(-x)$.
  • [poza podstawą] Skalowanie pionowe / poziome: $y = c,f(x)$ / $y = f(cx)$.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Wykres $y = x^2$ przesunięto o $3$ w lewo i o $2$ w górę. Napisz wzór nowej funkcji i podaj jej wierzchołek.
  2. O ile i w którą stronę przesunięto $y = |x|$, otrzymując $y = |x + 2| - 3$? Gdzie jest teraz „dzióbek" wykresu?
  3. Napisz wzór funkcji, której wykres powstaje z $y = \frac{1}{x}$ przez przesunięcie o $1$ w prawo i o $4$ w dół. Jakie są asymptoty nowego wykresu?
  4. Wykres $y = f(x)$ przechodzi przez $(2, 7)$. Wskaż punkty wykresów $y = f(x-4)$ i $y = f(x) - 7$.
  5. Wyjaśnij (maszyną, nie regułką), dlaczego $y = f(x - a)$ przesuwa wykres w prawo dla $a > 0$.
  6. (R) Punkt $(-3, 2)$ przesunięto o wektor $[5, -6]$, a wynik odbito względem osi poziomej. Gdzie wylądował?
  7. (R) Wykres $y = f(x)$ przechodzi przez $(2, 7)$. Wskaż punkt wykresu $y = f(-x)$.
  8. (R) Z wykresu $y = x^2 - 1$ naszkicuj $y = |x^2 - 1|$ i podaj, w których punktach nowy wykres ma „dzióbki".
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. Trzy w lewo to $x + 3$ w nawiasie, dwa w górę to $+2$ na zewnątrz: $y = (x+3)^2 + 2$, wierzchołek $(-3, 2)$.

2. $x + 2 = x - (-2)$, więc o $2$ w lewo i o $3$ w dół. Dzióbek $y=|x|$ był w $(0,0)$: jest w $(-2, -3)$.

3. $y = \frac{1}{x - 1} - 4$. Asymptoty przesuwają się razem z wykresem: pionowa $x = 1$, pozioma $y = -4$.

4. $f(x-4)$: wejścia opóźnione o $4$ → $(6, 7)$. $;f(x)-7$: wyjścia niżej o $7$ → $(2, 0)$.

5. Nowa maszyna $g(x) = f(x-a)$ odejmuje $a$ od wejścia, zanim spyta $f$. Żeby uzyskać to, co $f$ dawała dla wejścia $w$, trzeba podać $x = w + a$: o $a$ więcej. Każde zdarzenie z życia $f$ dzieje się więc o $a$ dalej w prawo.

6. Przesunięcie: $(-3+5,\ 2-6) = (2, -4)$. Odbicie względem osi poziomej zmienia znak drugiej współrzędnej: $(2, 4)$.

7. $f(-x)$: lustro względem osi pionowej, więc $(-2, 7)$.

8. Parabola $y = x^2 - 1$ ma zera $\pm 1$ i dno $(0, -1)$. Moduł odbija fragment między $-1$ a $1$ w górę: dno staje się garbem $(0, 1)$, a w punktach $x = -1$ i $x = 1$ wykres załamuje się w „dzióbki" (tam funkcja dotyka zera i zmienia przepis).

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • przesuwać wykresy, czytając wzór jak listę ruchów, i pisać wzory po ruchach;
  • (rozszerzenie) operować wektorem jako przepisem przesunięcia (punkt, składanie, wektor przeciwny) i odbijać wykresy;
  • wyjaśnić „minus w nawiasie = w prawo" działaniem maszyny, nie regułką;
  • [poza podstawą] skalować wykresy i rysować $|f(x)|$ oraz $f(|x|)$.