Zamknięcie działu 7

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: prosta to świat stałego tempa, parabola to świat przyspieszania, a wierzchołek paraboli podejmuje najlepsze decyzje. Dwie liczby opisują prostą, trzy parabolę, i z samych współczynników czyta się zachowanie funkcji.

  • Liniowa $ax + b$: $a$ = tempo, $b$ = start; zero w $-\frac{b}{a}$; ten sam $a$ = równoległość.
  • Układy równań: podstawianie / przeciwne współczynniki; obrazek: 1 / 0 / $\infty$ rozwiązań.
  • Kwadratowa: trzy twarze (ogólna: $c$; kanoniczna: wierzchołek; iloczynowa: zera); uzupełnianie do kwadratu; oś symetrii.
  • Optymalizacja: wielkość jako parabola → wierzchołek (albo brzeg dziedziny).
  • Równania i nierówności: $\Delta$ liczy przecięcia z osią; nierówność = zera + szkic + odczyt.
  • (R) Viète: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1x_2 = \frac{c}{a}$; parametr = lista warunków z $\Delta$ na czele.

📐 Słowniczek definicji działu 7

  • Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$: współczynnik kierunkowy $a$, wyraz wolny $b$.
  • Układ oznaczony / sprzeczny / nieoznaczony: 1 / 0 / nieskończenie wiele rozwiązań.
  • Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$); parabola, wierzchołek, oś symetrii.
  • Postać kanoniczna / iloczynowa: $a(x-p)^2 + q$ / $a(x-x_1)(x-x_2)$.
  • Wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$: licznik punktów wspólnych paraboli z osią.
  • (R) Wzory Viète'a: suma i iloczyn pierwiastków ze współczynników.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Wypożyczalnia rowerów: wypożyczenie roweru kosztuje $12$ zł plus $6$ zł za godzinę. Za ile godzin rachunek przekroczy $45$ zł?
  2. Rozwiąż układ: $\begin{cases} 3x - y = 7 \ x + 2y = 0 \end{cases}$
  3. Funkcję $f(x) = x^2 - 6x + 5$ doprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej; podaj wierzchołek, zera i zbiór wartości.
  4. Rozwiąż nierówność $2x^2 - x - 3 \le 0$.
  5. Suma dwóch liczb wynosi $16$. Jaka jest najmniejsza możliwa suma ich kwadratów?
  6. (R) Dla jakich $m$ równanie $x^2 - mx + 4 = 0$ ma dwa różne pierwiastki tego samego znaku?
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. $12 + 6t > 45 \Rightarrow 6t > 33 \Rightarrow t > 5{,}5$: od szóstej rozpoczętej godziny (jeśli płacisz za pełne godziny), z samej nierówności: powyżej $5{,}5$ h.

2. Z drugiego $x = -2y$; wstaw: $-6y - y = 7 \Rightarrow y = -1$, $x = 2$. Para $(2, -1)$; kontrola w obu: $6+1=7$ ✓, $2-2=0$ ✓.

3. $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 4$: wierzchołek $(3, -4)$. Zera: $(x-3)^2 = 4 \Rightarrow x = 1, 5$, więc $f(x) = (x-1)(x-5)$. Ramiona w górę, minimum $-4$: zbiór wartości $[-4, \infty)$.

4. $\Delta = 1 + 24 = 25$: zera $x = \frac{1 \pm 5}{4}$, czyli $-1$ i $\frac{3}{2}$. Ramiona w górę → pod osią między zerami: $x \in \left[-1, \frac{3}{2}\right]$.

5. Liczby $x$ i $16 - x$; $S(x) = x^2 + (16-x)^2 = 2x^2 - 32x + 256$: parabola z ramionami w górę, wierzchołek $p = \frac{32}{4} = 8$: liczby $8$ i $8$, suma kwadratów $128$. (Znowu remis wygrywa, jak w §7.4.)

6. Ten sam znak: iloczyn $= 4 > 0$ zawsze ✓, więc rozstrzyga $\Delta$: $m^2 - 16 > 0 \iff m < -4$ lub $m > 4$. Odpowiedź: $m \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$, dla $m > 4$ oba dodatnie, dla $m < -4$ oba ujemne (znak sumy $= m$).

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • czytać i pisać funkcje liniowe; rozwiązywać układy dwóch równań i interpretować je prostymi;
  • przełączać trzy postaci funkcji kwadratowej i wskazywać wierzchołek, zera, oś symetrii;
  • rozwiązywać równania (rozkład, $\Delta$) i nierówności kwadratowe (szkic);
  • znajdować optimum wielkości kwadratowej z pilnowaniem dziedziny;
  • (rozszerzenie) stosować wzory Viète'a i prowadzić dyskusję równania z parametrem.