Zamknięcie działu 8

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: pierwiastek = czynnik. Znajdziesz jedno zero; wielomian pęka; rozkład na czynniki to klucz do równań, a (w rozszerzeniu) krotności czynników rysują mapę znaków. Prosta i parabola z Działu 7 okazały się parterem wieży, po której można się wspinać bez końca.

  • Wielomian $a_nx^n + \dots + a_0$: stopień, współczynniki; działania = algebra z Działu 4; równość = zgodność współczynników.
  • Dzielenie: $W = (x-a)Q + R$, gdzie $R = W(a)$; Horner liczy iloraz i resztę jedną tabelką.
  • Bézout: $W(a) = 0 \iff (x-a) \mid W$; kandydaci całkowici z dzielników wyrazu wolnego (poza podstawą: wymierni $\frac{p}{q}$).
  • Równania: wszystko na jedną stronę → wyłącz wspólny czynnik, użyj wzorów skróconego mnożenia → każdy czynnik $= 0$; nie dziel przez $x$!
  • (R) Równania w pełnym warsztacie: wszystko na jedną stronę → rozkład (wyłączanie/wzory/grupowanie/Bézout/podstawienie) → czynniki po kolei; nie dziel przez $x$!
  • (R) Nierówności: wężyk od prawej; krotność parzysta odbija, nieparzysta przecina.

📐 Słowniczek definicji działu 8

  • Wielomian, stopień, współczynniki, wyraz wolny: suma potęg $x$; $a_0 = W(0)$.
  • (R) Iloraz i reszta: $W = P \cdot Q + R$, st. $R$ < st. $P$; dla $P = x-a$: $R = W(a)$.
  • Schemat Hornera: tabelkowe dzielenie przez $x - a$ (mnóż, dodawaj).
  • Twierdzenie Bézouta: pierwiastek $\iff$ dzielnik $(x-a)$.
  • (R) Krotność pierwiastka: ile razy czynnik $(x-a)$ siedzi w rozkładzie; parzysta = odbicie od osi.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Dane są $W(x) = x^3 - 2x + 1$ i $P(x) = x^2 + 3x$. Oblicz $W(x) - P(x)$ oraz stopień iloczynu $W(x) \cdot P(x)$.
  2. Rozwiąż równanie $(x - 2)(x^2 - 9) = 0$.
  3. Rozwiąż równanie $x^4 = 16x^2$.
  4. (R) Nie dzieląc, znajdź resztę z dzielenia $x^{50} - 2x + 3$ przez $x + 1$.
  5. Schematem Hornera podziel $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ przez $x - 1$ i dokończ rozkład na czynniki.
  6. Dla jakiego $k$ wielomian $x^3 - 2x^2 + kx + 6$ ma pierwiastek $x = 3$? Podaj wtedy pozostałe pierwiastki.
  7. (R) Rozwiąż nierówność $(x+2)(x-1)^2(x-4) \le 0$.
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. $W - P = x^3 - x^2 - 5x + 1$ (minus objął oba wyrazy $P$). Stopień iloczynu: $3 + 2 = 5$.

2. Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik: $x - 2 = 0$ albo $x^2 - 9 = (x-3)(x+3) = 0$. Rozwiązania: $x \in {2, 3, -3}$.

3. $x^4 - 16x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x-4)(x+4) = 0 \Rightarrow x \in {0, 4, -4}$ (zero jest pierwiastkiem dwukrotnym, ale rozwiązaniem jednym).

4. $R = W(-1) = (-1)^{50} + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$ (parzysta potęga zjada minus, $-2 \cdot (-1) = +2$).

5. Horner ($1, -6, 11, -6$; $a = 1$): $1, -5, 6, 0$ → $(x-1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x-2)(x-3)$.

6. $W(3) = 27 - 18 + 3k + 6 = 0 \Rightarrow 3k = -15 \Rightarrow k = -5$. Horner przez $(x-3)$ dla $x^3-2x^2-5x+6$: $1, 1, -2, 0$ → iloraz $x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$. Pozostałe pierwiastki: $-2$ i $1$.

7. Pierwiastki: $-2$ (krotn. 1), $1$ (krotn. 2), $4$ (krotn. 1); najstarszy wyraz $x^4$, z prawej dodatni. Wężyk: $+$ za $4$, $-$ na $(1,4)$, odbicie w $1$: $-$ na $(-2,1)$, przecięcie w $-2$: $+$ przed. $W \le 0$: $x \in [-2, 4]$; punkt $1$ w środku, na szczęście przy $\le$ wolno mu być zerem.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • operować wielomianami (działania, stopień, porównywanie współczynników);
  • dzielić przez $x - a$ Hornerem i używać reszty $R = W(a)$;
  • polować na pierwiastki: kandydaci z wyrazu wolnego, Bézout, obniżanie stopnia;
  • rozwiązywać równania wielomianowe rozkładem, bez gubienia rozwiązań;
  • (rozszerzenie) rozwiązywać nierówności wielomianowe z użyciem krotności.