Zamknięcie działu 9

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: mianownik to władza; wyznacza dziury w dziedzinie i ściany-asymptoty, a kto go lekceważy, hoduje rozwiązania-widma. Tym działem domyka się Część II: poznałeś funkcję jako pojęcie (Dział 5), jej kostiumy (6) i trzy rodziny: liniowe i kwadratowe (7), wielomianowe (8), wymierne (9). W Części III wejdą na scenę funkcje zupełnie nowego typu: wykładnicza i logarytmiczna, te od pandemii, lokat i połowicznego rozpadu.

  • Proporcjonalność odwrotna $y = \frac{a}{x}$: stały iloczyn; hiperbola o dwóch gałęziach; asymptoty = osie.
  • Asymptota: prosta, do której wykres zbliża się dowolnie blisko, nie dotykając (przedsmak granic z Części VI).
  • Wyrażenia wymierne: dziedzina z oryginału przed upraszczaniem; skracaj czynniki, nie składniki; mnóż i dziel po rozkładzie.
  • (R) Równania: licznik zero, mianownik nie; konfrontacja z dziedziną. Nierówności: wszystko na lewo, znak ilorazu jak iloczynu, mianownik zawsze wykluczony.

📐 Słowniczek definicji działu 9

  • Proporcjonalność odwrotna: $y = \frac{a}{x}$, $xy = a$, $a \ne 0$.
  • Hiperbola: wykres proporcjonalności odwrotnej; dwie gałęzie.
  • Asymptota: prosta, do której wykres zbliża się nieograniczenie, nie osiągając jej.
  • Wyrażenie wymierne: iloraz wielomianów; dziedzina: mianownik $\ne 0$.
  • (R) Rozwiązanie pozorne (widmo): pierwiastek przekształconego równania spoza dziedziny oryginału.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Iloczyn dwóch dodatnich wielkości jest stale równy $48$. Jedna z nich wynosi $12$: ile druga? Podaj też wzór $y(x)$ i naszkicuj wykres dla $x > 0$.
  2. Dlaczego wykres $y = \frac{5}{x}$ nie przecina osi poziomej? Odpowiedz jednym zdaniem o liczniku.
  3. Pociąg pokonuje trasę $240$ km. Zapisz czas jazdy jako funkcję prędkości i oblicz, o ile skróci się podróż po podniesieniu prędkości z $80$ na $120$ km/h.
  4. Skróć z pełną dyscypliną dziedziny: $\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 16}$.
  5. (R) Rozwiąż równanie $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 0$ i wskaż rozwiązanie-widmo.
  6. (R) Rozwiąż nierówność $\frac{x + 1}{x - 3} \le 0$.
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. $12 \cdot y = 48 \Rightarrow y = 4$. Wzór: $y = \frac{48}{x}$; dla $x > 0$ jedna gałąź hiperboli w ćwiartce I (przez $(6, 8)$, $(12, 4)$, $(48, 1)$…).

2. Ułamek jest zerem tylko wtedy, gdy licznik jest zerem, a licznik to stałe $5 \ne 0$; więc $y$ nigdy nie równa się $0$ (oś pozioma to asymptota, nie zdobycz).

3. $t(v) = \frac{240}{v}$. $;t(80) = 3$ h, $t(120) = 2$ h: o godzinę. (Uwaga życiowa: kolejne $+40$ km/h dałoby już tylko $30$ minut; hiperbola spłaszcza zyski.)

4. Dziedzina: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 4$. $;\frac{x(x-4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{x}{x+4}$ dla $x \ne \pm 4$.

5. Dziedzina $x \ne -3$. Licznik: $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$. Widmo: $x = -3$ (poza dziedziną). Odpowiedź: $x = 3$.

6. Znak ilorazu = znak iloczynu $(x+1)(x-3)$: zera $-1$ i $3$, ramiona w górę → $\le 0$ między zerami: $[-1, 3]$. Mianownik wyklucza $3$: odpowiedź $x \in [-1, 3)$; lewy koniec domknięty (zero licznika, $\le$ pozwala), prawy otwarty.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • rozpoznać proporcjonalność odwrotną, wyznaczyć współczynnik i naszkicować hiperbolę z asymptotami;
  • wyjaśnić, czym jest asymptota, i przeczuć, dokąd ten wątek zmierza w Części VI;
  • skracać, mnożyć i dzielić wyrażenia wymierne z dyscypliną dziedziny;
  • (rozszerzenie) dodawać i odejmować wyrażenia wymierne, rozwiązywać równania (bez widm) i nierówności wymierne (bez mnożenia przez mianownik).