Zamknięcie działu 10

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: świat, który mnoży, opisuje funkcja wykładnicza, a pytania „po ilu krokach?" obsługuje jej lustro, logarytmiczna. Prosta dokłada, wykładnicza mnoży, i dlatego zawsze w końcu wygrywa (albo przegrywa, gdy mnożnik jest ułamkiem).

  • Wykładnicza $a^x$: zawsze dodatnia, przez $(0,1)$, asymptota: oś pozioma; $a>1$ rośnie, $a<1$ maleje.
  • [poza podstawą] Równania: wspólna podstawa → równe wykładniki. Nierówności: $a<1$ odwraca znak.
  • Logarytmiczna $\log_a x$: lustro względem $y = x$; dziedzina $x>0$, zero w $1$, asymptota: oś pionowa.
  • [poza podstawą] Równania/nierówności log: dziedzina NAJPIERW → rachunek → konfrontacja (widma).
  • Modele: $\text{start} \times \text{mnożnik}^n$; kapitalizacja ($1+p$), rozpad ($\frac{1}{2}$ co $T$), populacje; reguła 72; model ma granice stosowalności.

📐 Słowniczek definicji działu 10

  • Funkcja wykładnicza: $f(x) = a^x$, $a>0$, $a \ne 1$.
  • Funkcja logarytmiczna: $f(x) = \log_a x$; logarytm = wykładnik.
  • Asymptota pozioma / pionowa: oś X dla $a^x$ / oś Y dla $\log_a x$.
  • Kapitalizacja: doliczanie odsetek do kapitału, który dalej procentuje; mnożnik $1+p$.
  • Czas połowicznego rozpadu $T$: co $T$ zostaje połowa; $m(t) = m_0 (\tfrac{1}{2})^{t/T}$.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Uporządkuj rosnąco: $2^{10}$, $;10^2$, $;\left(\frac{1}{2}\right)^{-8}$, $;4^4$.
  2. Lek ma czas połowicznego rozpadu $6$ godzin, dawka to $400$ mg. Ile substancji zostanie po dobie? Po ilu godzinach zostanie mniej niż $50$ mg?
  3. [poza podstawą] Rozwiąż równanie: $2^{3x-1} = \frac{1}{16}$.
  4. [poza podstawą] Rozwiąż nierówność: $\left(\frac{1}{5}\right)^{x+2} \ge \frac{1}{125}$.
  5. [poza podstawą] Rozwiąż równanie: $\log_4(3x - 2) = 2$. Nie zapomnij o dziedzinie.
  6. [poza podstawą] Rozwiąż nierówność: $\log_2(x + 1) < 3$.
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. $10^2 = 100$; $;4^4 = 256$; $;\left(\frac{1}{2}\right)^{-8} = 2^8 = 256$; $;2^{10} = 1024$. Rosnąco: $10^2 < 4^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-8} < 2^{10}$.

2. Doba $= 4T$: $;400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 25$ mg. Mniej niż $50$ mg: licz połowienia, $400 \to 200 \to 100 \to 50$, czyli po $3T = 18$ godzinach zostaje dokładnie $50$ mg. Masa cały czas maleje, więc mniej niż $50$ mg zostaje po ponad $18$ godzinach.

3. $\frac{1}{16} = 2^{-4}$: $;3x - 1 = -4 \Rightarrow x = -1$.

4. $\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3$; podstawa $< 1$: odwracamy: $x + 2 \le 3 \Rightarrow x \le 1$.

5. Dziedzina $x > \frac{2}{3}$. $;3x - 2 = 4^2 = 16 \Rightarrow x = 6$ ✓ w dziedzinie.

6. Dziedzina $x > -1$. $;3 = \log_2 8$, podstawa $> 1$: $x + 1 < 8 \Rightarrow x < 7$. Odpowiedź: $x \in (-1, 7)$.

Zadanie 2, drugi sposób (nierówność wykładnicza). Doba $= 4T$: $;400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 25$ mg. Mniej niż $50$ mg: $400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6} < 50 \iff \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6} < \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$; podstawa $<1$, odwracamy: $\frac{t}{6} > 3 \Rightarrow t > 18$ godzin.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • rozpoznać i zapisać wzrost/spadek wykładniczy; naszkicować $a^x$ i $\log_a x$ z asymptotami;
  • rozwiązywać równania i nierówności wykładnicze (wspólna podstawa, odwracanie znaku przy $a<1$);
  • rozwiązywać równania i nierówności logarytmiczne w rygorze: dziedzina → rachunek → konfrontacja;
  • budować modele: kapitalizacja, rozpad połowiczny, populacje, i wskazywać ich granice.