Zamknięcie działu 11

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: ciąg to funkcja chodząca po numerach; stały przyrost albo stały mnożnik dają dwa królewskie ciągi, których dalekie wyrazy i sumy liczy się wzorem, nie mozołem. A w rozszerzeniu: schodki prowadzą do granicy, pierwszego spotkania z nieskończonością, które kończy się wygraną.

  • Ciąg = funkcja ${1,2,3,\dots} \to \mathbb{R}$; wzór ogólny vs rekurencja; monotoniczność = znak $a_{n+1} - a_n$.
  • Arytmetyczny: $a_{n+1} - a_n = r$; $;a_n = a_1 + (n-1)r$; wyraz = średnia sąsiadów; trzy kolejne: $x-r, x, x+r$.
  • Geometryczny: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$; $;a_n = a_1 q^{n-1}$; $a_n^2 = a_{n-1}a_{n+1}$; wykładnicza na schodkach.
  • Sumy: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n$ (parowanie) oraz $S_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q}$ (pomnóż-i-odejmij).
  • (R) Granica: gra w pas; $\frac{1}{n} \to 0$, $q^n \to 0$ ($|q|<1$); $;S = \frac{a_1}{1-q}$; Zenon rozbrojony.

📐 Słowniczek definicji działu 11

  • Ciąg, wyraz ogólny $a_n$, rekurencja: funkcja numerów; przepis z numeru / z poprzednika.
  • Ciąg arytmetyczny (różnica $r$): stały przyrost; liniowa funkcja numeru.
  • Ciąg geometryczny (iloraz $q$): stały mnożnik; wykładnicza funkcja numeru.
  • Suma częściowa $S_n$: suma $n$ początkowych wyrazów.
  • (R) Granica ciągu, zbieżność: liczba, wokół której każdy pas łapie prawie wszystkie wyrazy.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Ciąg dany wzorem $a_n = \frac{12}{n+1}$. Oblicz $a_1, a_2, a_3$ i uzasadnij, że ciąg jest malejący.
  2. W ciągu arytmetycznym $a_5 = 17$ i $r = 3$. Wyznacz $a_1$, wzór ogólny i $S_{20}$.
  3. W ciągu geometrycznym $a_1 = 4$ i $a_4 = 108$. Wyznacz $q$ i oblicz $S_5$.
  4. Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego sumują się do $36$, a największy jest o $8$ większy od najmniejszego. Znajdź te liczby.
  5. Sala koncertowa: $25$ rzędów, od $30$ miejsc w pierwszym, każdy kolejny o $2$ więcej. Czy pomieści $1300$ widzów?
  6. (R) Oblicz $\lim_{n\to\infty} \frac{3n - 5}{n}$ oraz sumę $8 + 4 + 2 + 1 + \dots$
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. $a_1 = 6$, $a_2 = 4$, $a_3 = 3$. Malejący: $a_{n+1} - a_n = \frac{12}{n+2} - \frac{12}{n+1} = \frac{-12}{(n+2)(n+1)} < 0$ dla każdego $n$.

2. $a_1 = a_5 - 4r = 5$; $;a_n = 5 + (n-1)\cdot 3 = 3n + 2$; $;a_{20} = 62$, $;S_{20} = \frac{5 + 62}{2} \cdot 20 = 670$.

3. $q^3 = \frac{108}{4} = 27 \Rightarrow q = 3$; $;S_5 = 4 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 4 \cdot \frac{-242}{-2} = 484$.

4. Zapis $x - r, x, x + r$: suma $3x = 36 \Rightarrow x = 12$; rozpiętość $2r = 8 \Rightarrow r = 4$. Liczby: $8, 12, 16$.

5. $a_{25} = 30 + 24 \cdot 2 = 78$; $;S_{25} = \frac{30 + 78}{2} \cdot 25 = 1350 \ge 1300$: pomieści, z zapasem $50$ miejsc.

6. $\frac{3n-5}{n} = 3 - \frac{5}{n} \to 3$. Suma: $q = \frac{1}{2}$, $;S = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = 16$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • operować ciągami danymi wzorem i rekurencją; dowodzić monotoniczności;
  • rozpoznawać ciągi arytmetyczne i geometryczne oraz liczyć ich dalekie wyrazy;
  • sumować oba ciągi i wybierać właściwy wzór z treści zadania;
  • (rozszerzenie) obliczać granice podstawowych ciągów i sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.