Zamknięcie działu 12

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: kąt wymusza proporcje, a przeniesiony na okrąg staje się liczbą i zaczyna falować. Od mierzenia masztów, przez kąty rozwarte, po okrąg jednostkowy i sinusoidę w zakresie rozszerzonym: jedna idea, kilka pięter ogólności. Tym działem domykasz Część III: masz już wszystkie „nowe rodzaje zmiany": procentową (wykładnicza), krokową (ciągi) i obrotową (trygonometria).

  • W trójkącie: $\sin = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$, $\cos = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$, $\operatorname{tg} = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}$; tabela $30°/45°/60°$; pomiar niedostępnych wysokości.
  • Kąty do $180°$: $P = (x, y)$ na ramieniu; $\sin = \frac{y}{r}$, $\cos = \frac{x}{r}$; kąt rozwarty: $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$, $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$.
  • (R) Na okręgu: $P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$; dowolne kąty; znaki z ćwiartek.
  • Tożsamości: $\sin^2 + \cos^2 = 1$ (Pitagoras); $\operatorname{tg} = \frac{\sin}{\cos}$; moduł z jedynki, znak z ćwiartki.
  • Miara łukowa: $180° = \pi$; sinus jako funkcja liczb; okres $2\pi$, sinusoida.
  • (R) Fala: $a\sin(bx+c)+d$ czytane Działem 6; wzory redukcyjne = symetrie okręgu.

📐 Słowniczek definicji działu 12

  • Sinus, cosinus, tangens (kąta ostrego): stosunki boków trójkąta prostokątnego.
  • Sinus, cosinus, tangens kąta od $0°$ do $180°$: $\frac{y}{r}$, $\frac{x}{r}$, $\frac{y}{x}$ dla punktu $P = (x, y)$ na ramieniu kąta.
  • (R) Okrąg jednostkowy: $P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$; definicja dla dowolnego kąta.
  • Jedynka trygonometryczna: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
  • Radian / miara łukowa: kąt mierzony długością łuku; $\pi = 180°$.
  • (R) Amplituda, okres, faza: trzy pokrętła fali $a\sin(bx + c)$.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Latawiec na sznurku długości $80$ m; sznurek tworzy z ziemią kąt $60°$. Na jakiej wysokości jest latawiec?
  2. Oblicz: $\sin 135° + \cos 120°$.
  3. $\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}$ i $\alpha$ jest ostry. Oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$. (Wskazówka: trójkąt 3-4-5 albo jedynka + definicja tangensa.)
  4. Udowodnij, że $(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = \sin^2\alpha$.
  5. Przelicz $150°$ na radiany i oblicz $\cos\frac{5\pi}{6}$.
  6. (R) Fala $y = 5\sin\left(4x\right)$: podaj amplitudę i okres, a następnie zredukuj $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)$.
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. Wysokość naprzeciw kąta: $h = 80\sin 60° = 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3} \approx 69$ m.

2. $\sin 135° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $;\cos 120° = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$. Suma: $\frac{\sqrt{2} - 1}{2} \approx 0{,}21$.

3. Trójkąt o przyprostokątnych $3$ i $4$ ma przeciwprostokątną $5$ (Pitagoras), a $\operatorname{tg} = \frac{3}{4}$ ✓: $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$.

4. Lewa: różnica kwadratów (§4.2): $1 - \cos^2\alpha$; jedynka: $= \sin^2\alpha$. $\blacksquare$

5. $150° = \frac{5\pi}{6}$. $;\cos\frac{5\pi}{6} = \cos(180° - 30°) = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Amplituda $5$; okres $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Redukcja $\frac{3\pi}{2} + x$: ćwiartka IV (sinus ujemny), kąt przy osi pionowej; zamiana na siostrę: $-\cos x$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • liczyć niedostępne długości z kątów (stosunki boków + tabela wartości);
  • liczyć sinus, cosinus i tangens kątów od $0°$ do $180°$ (znaki, wartości szczególne, $180° - \alpha$);
  • (rozszerzenie) operować dowolnymi kątami na okręgu jednostkowym;
  • używać jedynki trygonometrycznej i definicji tangensa (moduł + znak z ćwiartki);
  • przeliczać stopnie na radiany i traktować $\sin x$ jak pełnoprawną funkcję z okresem $2\pi$;
  • (rozszerzenie) szkicować fale $a\sin(bx+c)+d$ i redukować kąty symetriami okręgu.