Zamknięcie działu 13

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: geometria to patrzenie, które umie uzasadniać; jedna równoległa dowodzi sumy kątów, jedna układanka dowodzi Pitagorasa, jedna nierówność wyjaśnia krnąbrne kije. Wszystko, co tu zbudowałeś, zaraz zacznie procentować: w okręgach (Dział 14), we współrzędnych (15) i w przestrzeni (16).

  • Kąty: wierzchołkowe równe; przy równoległych odpowiadające i naprzemianległe równe.
  • Tales: równoległe tną ramiona kąta proporcjonalnie; cienie i skale map.
  • Trójkąt: suma kątów $180°$ (dowód równoległą); nierówność trójkąta (ostra!); klasyfikacja dwiema osiami.
  • Pitagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ + dowód-układanka + twierdzenie odwrotne (sznur $3\text{-}4\text{-}5$).
  • Serce trójkąta: symetralne → okrąg opisany; dwusieczne → wpisany; środkowe → środek ciężkości ($2:1$); wysokości → ortocentrum.

📐 Słowniczek definicji działu 13

  • Kąty przyległe / wierzchołkowe / odpowiadające / naprzemianległe: pary kątów przy przecięciach prostych.
  • Twierdzenie Talesa: proporcjonalność odcinków na ramionach kąta ciętych równoległymi.
  • Nierówność trójkąta: każdy bok krótszy od sumy dwóch pozostałych.
  • Twierdzenie Pitagorasa (i odwrotne): $a^2+b^2=c^2$ w trójkącie prostokątnym; równość rozpoznaje kąt prosty.
  • Symetralna, dwusieczna, środkowa, wysokość: cztery rodziny prostych trójkąta i ich punkty szczególne.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Przy przecięciu dwóch prostych jeden kąt jest trzy razy większy od drugiego (przyległego). Oblicz oba.
  2. Kij $1{,}6$ m rzuca cień $2{,}4$ m; wieża rzuca w tej samej chwili cień $36$ m. Oblicz wysokość wieży.
  3. Czy istnieje trójkąt o bokach $4, 7, 11$? Odpowiedź uzasadnij, a potem podaj zakres trzeciego boku dla boków $4$ i $7$.
  4. Romb ma przekątne $12$ i $16$. Oblicz jego bok. (Wskazówka: przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na pół.)
  5. W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie jest o $15°$ większy od kąta między ramionami. Oblicz wszystkie kąty.
  6. Uzasadnij, że środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej. (Wskazówka: gdzie przecinają się symetralne przyprostokątnych?)
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. $x + 3x = 180° \Rightarrow x = 45°$: kąty $45°$ i $135°$.

2. $\frac{h}{36} = \frac{1{,}6}{2{,}4} = \frac{2}{3} \Rightarrow h = 24$ m.

3. $4 + 7 = 11$: równość, więc trójkąta nie ma (degeneracja). Zakres: $x \in (3, 11)$ (z $|7-4| < x < 7+4$).

4. Połówki przekątnych: $6$ i $8$, kąt między nimi prosty → bok $= \sqrt{36 + 64} = 10$.

5. Kąty: $\alpha$ (między ramionami) i dwa po $\alpha + 15°$: $;\alpha + 2(\alpha + 15°) = 180° \Rightarrow 3\alpha = 150° \Rightarrow \alpha = 50°$; kąty $50°, 65°, 65°$.

6. Symetralna przyprostokątnej $a$ jest do niej prostopadła, więc równoległa do drugiej przyprostokątnej, i przechodzi przez środek boku $a$. Prosta równoległa do boku, poprowadzona przez środek drugiego boku, trafia w środek trzeciego (Tales, §13.2), więc przecina przeciwprostokątną w jej środku; tak samo symetralna drugiej przyprostokątnej. Punkt przecięcia symetralnych (= środek okręgu opisanego, §13.5) leży więc w środku przeciwprostokątnej. $\blacksquare$

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • liczyć kąty z par (przyległe, wierzchołkowe, przy równoległych) i dowodzić z ich pomocą;
  • stosować twierdzenie Talesa w rachunkach i w terenie;
  • rozstrzygać istnienie trójkąta i operować sumą kątów;
  • stosować Pitagorasa w obie strony i opowiedzieć jego dowód;
  • wskazać cztery punkty szczególne trójkąta i ich własności.