Zamknięcie działu 14

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: okrąg rządzi kątami, podobieństwo skalą, a pole liczy się wzorem dobranym do danych. Z Działem 13 masz komplet planimetrii; w Dziale 15 te same figury dostaną współrzędne, a w Dziale 16 trzeci wymiar.

  • Kąty w okręgu: środkowy $= 2\times$ wpisany (ten sam łuk); wpisane na łuku równe; na średnicy prosty.
  • Styczna: ⟂ promień w punkcie styczności; odcinki stycznych z punktu równe; $d$ vs $r$ decyduje o liczbie punktów wspólnych.
  • Podobieństwo: równe kąty + skala $k$; obwody $\times k$, pola $\times k^2$.
  • Pola: $\frac{1}{2}ah$, $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$; tnij wielokąty na trójkąty; koło $\pi r^2$, wycinek proporcją $\frac{\alpha}{360°}$; $\pi$ = obwód/średnica.
  • Cosinusów: $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos\gamma$; Pitagoras z poprawką; kąt między bokami albo trzy boki.
  • (R) Sinusów: $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$; para bok–kąt naprzeciw; każdy trójkąt do rozwiązania.

📐 Słowniczek definicji działu 14

  • Cięciwa, łuk, średnica; kąt środkowy / wpisany: anatomia okręgu.
  • Styczna / sieczna: 1 / 2 punkty wspólne z okręgiem.
  • Figury podobne, skala $k$: równe kąty, długości w stosunku $k$; pola w $k^2$.
  • Liczba $\pi$: stosunek obwodu okręgu do średnicy; $2\pi r$, $\pi r^2$.
  • Twierdzenie cosinusów: Pitagoras z poprawką $-2ab\cos\gamma$; $\gamma$ między bokami $a$ i $b$.
  • (R) Twierdzenie sinusów: proporcja $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$ z promieniem okręgu opisanego.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Kąt wpisany oparty na łuku ma $65°$. Oblicz kąt środkowy na tym samym łuku i kąt wpisany na łuku dopełniającym.
  2. Z punktu odległego o $17$ od środka okręgu poprowadzono styczną; odcinek styczny ma długość $15$. Oblicz promień.
  3. Trójkąty podobne w skali $k = \frac{2}{3}$: pole większego wynosi $45$. Oblicz pole mniejszego.
  4. Oblicz pole trójkąta o bokach $10$ i $12$ oraz kącie $150°$ między nimi. (Uwaga na sinus kąta rozwartego.)
  5. Koło ma pole $49\pi$. Oblicz jego obwód oraz pole wycinka o kącie $40°$.
  6. (R) W trójkącie $a = 7$, $b = 8$, $\gamma = 120°$ (kąt między nimi). Oblicz trzeci bok i promień okręgu opisanego. (Wskazówka: najpierw cosinusów, potem sinusów.)
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. Środkowy: $130°$. Na łuku dopełniającym: $180° - 65° = 115°$.

2. Styczna ⟂ promień: $r = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{64} = 8$.

3. Pola w $k^2 = \frac{4}{9}$: $;45 \cdot \frac{4}{9} = 20$.

4. $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$: $P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 30$.

5. $r = 7$; obwód $14\pi$. Wycinek: $\frac{40}{360} = \frac{1}{9}$: pole $= \frac{49\pi}{9}$.

6. Cosinusów: $c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 56 \cdot (-\frac{1}{2}) = 113 + 56 = 169 \Rightarrow c = 13$. Sinusów: $2R = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} = \frac{26}{\sqrt{3}} \Rightarrow R = \frac{13\sqrt{3}}{3} \approx 7{,}5$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • stosować twierdzenia o kątach w okręgu (środkowy/wpisany, średnica);
  • pracować ze styczną (prostopadłość, równe odcinki) i rozpoznawać położenie prostej;
  • skalować figury podobne (długości $k$, pola $k^2$);
  • liczyć pola trójkątów, czworokątów, koła i wycinka: wzorem dobranym do danych;
  • stosować i uzasadniać twierdzenie cosinusów oraz rozpoznawać rodzaj trójkąta po bokach;
  • (rozszerzenie) rozwiązywać dowolne trójkąty twierdzeniem sinusów.