Zamknięcie działu 15

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: punkt to para liczb, figura to równanie, pytanie geometryczne to rachunek. Odległość i środek (Pitagoras + średnia) napędzają wszystko: proste z warunkami, symetrie względem osi, okręgi z uzupełnianiem kwadratu. Konstrukcje cyrklem zamieniły się w rachunek, a w Dziale 16 dołożysz trzeci wymiar.

  • Odległość $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$; środek = średnie współrzędnych.
  • Symetrie: względem $Ox$: $(x, -y)$; względem $Oy$: $(-x, y)$; względem początku układu: $(-x, -y)$.
  • Prosta: kierunkowa/ogólna; równoległość $a_1 = a_2$; punkt wspólny z układu; przez punkt: $y = a(x-x_0)+y_0$.
  • Okrąg: $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$; tester położenia punktu; obraz w symetrii: odbity środek, ten sam promień.
  • (R) Prostopadłość $a_1a_2 = -1$; odległość punktu od prostej $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ (poza podstawą programową); postać rozwinięta okręgu → uzupełnianie kwadratu; prosta vs okrąg: $d$ vs $r$ albo $\Delta$.
  • (R) Przecięcia: układ + delta (styczność $\Delta=0$). [poza podstawą] Jednokładność: $P' = S + k(P-S)$, pola $\times k^2$.

📐 Słowniczek definicji działu 15

  • Wzór odległości / środka odcinka: Pitagoras na kratkach / średnie współrzędnych.
  • Symetria względem osi / początku układu: zmiana znaku jednej / obu współrzędnych.
  • Postać kierunkowa / ogólna prostej: $y = ax+b$ / $Ax+By+C=0$ (obsługuje pionowe).
  • Równanie okręgu: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$; tester położenia punktu.
  • (R) Warunek prostopadłości: $a_1 \cdot a_2 = -1$.
  • [poza podstawą] Jednokładność: środek $S$, skala $k$: $\vec{SP'} = k\vec{SP}$.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Dane $A(-1, 3)$ i $B(5, -5)$. Oblicz $|AB|$ i środek odcinka.
  2. Napisz równanie prostej równoległej do $y = \frac{1}{2}x - 3$, przechodzącej przez punkt $(4, 1)$.
  3. Wyznacz obraz trójkąta $A(1, 2)$, $B(5, 2)$, $C(3, 6)$ w symetrii względem początku układu.
  4. Okrąg ma środek $(1, -3)$ i przechodzi przez punkt $(1, 1)$. Napisz jego równanie.
  5. Okrąg z zadania 4 odbij symetrycznie względem osi $Ox$ i napisz równanie obrazu.
  6. (R) Napisz równanie prostej prostopadłej do $y = \frac{1}{2}x - 3$, przechodzącej przez punkt $(4, 1)$.
  7. (R) Oblicz odległość punktu $(1, -2)$ od prostej $4x - 3y + 2 = 0$.
  8. (R) Zbadaj położenie prostej $y = x + 3$ względem okręgu $x^2 + y^2 = 4$: metodą wybraną przez siebie, z uzasadnieniem wyboru.
  9. (R) Dla jakich $m$ prosta $y = 3x + m$ jest styczna do paraboli $y = x^2 - x + 2$?
  10. (R) Sprowadź $x^2 + y^2 - 2x + 6y - 6 = 0$ do postaci środkowej i podaj środek oraz promień.
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. $|AB| = \sqrt{36 + 64} = 10$; środek $(2, -1)$.

2. Równoległa ma to samo $a = \frac{1}{2}$: $;y = \frac{1}{2}(x-4) + 1 = \frac{1}{2}x - 1$.

3. Zmieniają się oba znaki: $A'(-1, -2)$, $B'(-5, -2)$, $C'(-3, -6)$.

4. Promień to odległość środka od punktu: $r = |1 - (-3)| = 4$ (punkty leżą na jednej pionowej prostej). Równanie: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 16$.

5. Środek $(1, -3)$ przechodzi na $(1, 3)$, promień zostaje $4$: $;(x-1)^2 + (y-3)^2 = 16$.

6. $a = -2$ (przeciwna odwrotność $\frac{1}{2}$): $;y = -2(x-4) + 1 = -2x + 9$.

7. $d = \frac{|4 + 6 + 2|}{\sqrt{16+9}} = \frac{12}{5} = 2{,}4$.

8. Geometrycznie (szybciej, bo środek to $(0,0)$): prosta w ogólnej $x - y + 3 = 0$, $;d = \frac{|3|}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12 > 2 = r$; rozłączne.

9. $x^2 - x + 2 = 3x + m \Rightarrow x^2 - 4x + (2 - m) = 0$, $;\Delta = 16 - 4(2-m) = 8 + 4m = 0 \Rightarrow m = -2$.

10. $(x-1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 - 6 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 + (y+3)^2 = 16$: środek $(1, -3)$, $r = 4$ (ten sam okrąg co w zadaniu 4, tylko w przebraniu).

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • liczyć odległości i środki oraz badać własności figur rachunkiem;
  • wyznaczać obrazy punktów, wielokątów i okręgów w symetriach względem osi i początku układu;
  • wyznaczać proste z warunków geometrycznych (punkt i kierunek, dwa punkty, równoległość) i punkt wspólny dwóch prostych;
  • operować równaniem okręgu;
  • (rozszerzenie) wyznaczać prostą prostopadłą i symetralną, liczyć pola ze współrzędnych, badać położenie prostej i okręgu oraz zliczać przecięcia deltą; [poza podstawą] liczyć odległość punktu od prostej wzorem i stosować jednokładność.