Zamknięcie działu 16

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: trzeci wymiar to planimetria plus wyobraźnia: każdy kąt i każda długość w przestrzeni mieszka w jakimś płaskim trójkącie; sztuką jest go znaleźć (rzut! przekrój!). Tym działem domykasz Część IV: od kątów na kartce (13), przez okręgi i pola (14) oraz współrzędne (15), po bryły.

  • Położenia: proste przecinające się / równoległe / skośne; płaszczyzny tną się wzdłuż prostej; ⟂ do płaszczyzny = ⟂ do dwóch jej prostych przecinających się.
  • Kąty: prosta–płaszczyzna przez rzut; dwuścienny prostymi ⟂ do krawędzi; tw. o trzech prostych ⟂.
  • Graniastosłup / ostrosłup: $V = P_pH$ / $V = \frac{1}{3}P_pH$; trzy różne „wysokości" ostrosłupa.
  • Obrotowe: walec $\pi r^2 H$; stożek $\frac{1}{3}\pi r^2 H$, $P_b = \pi r l$; kula $\frac{4}{3}\pi R^3$, $4\pi R^2$; Archimedes $2:3$.
  • Skala $k$: długości $k$, pola $k^2$, objętości $k^3$.
  • (R) Przekroje: 3D → 2D i planimetria kończy robotę.

📐 Słowniczek definicji działu 16

  • Proste skośne: bez punktu wspólnego i bez wspólnej płaszczyzny.
  • Prosta ⟂ płaszczyzna; rzut prostokątny: spodek prostopadłej; baza kątów przestrzennych.
  • Kąt dwuścienny: między półpłaszczyznami, mierzony ⟂ do krawędzi.
  • Graniastosłup / ostrosłup (prosty, prawidłowy); apotema: rodziny brył wielościennych.
  • Walec, stożek (tworząca $l$), kula: bryły obrotowe.
  • (R) Przekrój: część wspólna bryły i płaszczyzny.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Wskaż (z uzasadnieniem), które zdanie jest fałszywe: (a) dwie płaszczyzny mogą mieć dokładnie jeden punkt wspólny; (b) istnieją proste bez punktu wspólnego, które nie są równoległe.
  2. Przekątna prostopadłościanu o podstawie $6 \times 8$ tworzy z podstawą kąt $45°$. Oblicz wysokość i objętość bryły.
  3. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $10$ i apotemę $13$. Oblicz wysokość, pole całkowite i objętość.
  4. Z kwadratu blachy o boku $31{,}4$ cm zwinięto bok walca (bez podstaw). Oszacuj promień i objętość walca ($\pi \approx 3{,}14$).
  5. Kulę o promieniu $6$ przetopiono na stożek o tym samym promieniu podstawy. Jaką wysokość ma stożek?
  6. (R) W stożek o $r = 3$ i $H = 4$ wpisano kulę. Oblicz jej promień. (Wskazówka: przekrój osiowy i $r_{\text{wpis}} = \frac{P}{s}$ dla trójkąta.)
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. Fałszywe: (a); płaszczyzny albo są rozłączne/równoległe, albo pokrywają się, albo tną wzdłuż prostej (nieskończenie wielu punktów). Zdanie (b) jest prawdziwe: to proste skośne.

2. Przekątna podstawy: $\sqrt{36+64} = 10$; kąt $45°$ ⇒ wysokość $= 10$ (tangens $1$). $;V = 48 \cdot 10 = 480$.

3. $H = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$. Pole: $100 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 13 = 100 + 260 = 360$. $;V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400$.

4. Obwód $= 31{,}4 \Rightarrow r = \frac{31{,}4}{2\pi} \approx 5$ cm; $H = 31{,}4$ cm: $;V \approx 3{,}14 \cdot 25 \cdot 31{,}4 \approx 2465$ cm³ ($\approx 2{,}5$ l).

5. $\frac{4}{3}\pi \cdot 216 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot H \Rightarrow 288 = 12H \Rightarrow H = 24$.

6. Przekrój: trójkąt równoramienny, podstawa $6$, wysokość $4$, ramiona $l = \sqrt{9+16} = 5$. $;P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$; połowa obwodu $s = \frac{6+5+5}{2} = 8$: $;r_{\text{kuli}} = \frac{12}{8} = 1{,}5$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • rozpoznawać wzajemne położenia prostych i płaszczyzn (ze skośnymi włącznie);
  • wyznaczać kąty przestrzenne metodą rzutu i mierzyć kąty dwuścienne;
  • liczyć pola i objętości graniastosłupów, ostrosłupów i brył obrotowych;
  • stosować drabinę skal $k / k^2 / k^3$;
  • (rozszerzenie) konstruować przekroje i rozwiązywać bryły wpisane/opisane przez przekrój osiowy.