Zamknięcie działu 17

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: jedna reguła (mnożenia), a w rozszerzeniu trzy modele-skróty; cała sztuka to diagnoza, nie rachunek. Kombinatoryka jest silnikiem następnego działu: prawdopodobieństwo klasyczne to ułamek „sprzyjające przez wszystkie", i oba te liczniki policzysz właśnie tutejszymi metodami.

  • Reguły: etapy × (mnożenie), rozłączne scenariusze + (dodawanie); ograniczenia najciaśniejsze najpierw.
  • Permutacje: $n!$; kolejka wszystkich; silnia; bloki i miejsca specjalne.
  • Wariacje: $\frac{n!}{(n-k)!}$ (bez powtórzeń), $n^k$ (z powtórzeniami); wybór z kolejnością.
  • Kombinacje: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, sam skład; symetria; Lotto $\approx 14$ mln.
  • Dopełnienie: „co najmniej jeden" = wszystkie − żaden.
  • (R) Diagnoza modelu: dwa pytania + test zamiany + autotest trzech przykładów.

📐 Słowniczek definicji działu 17

  • Reguła mnożenia / dodawania: etapy jednej konstrukcji / rozłączne przypadki.
  • Silnia $n!$: iloczyn $n \cdot (n-1) \cdots 1$; $0! = 1$.
  • Permutacja / wariacja (z powt. i bez) / kombinacja: kolejka wszystkich / wybór z kolejnością / sam skład.
  • Symbol Newtona $\binom{n}{k}$: liczba $k$-elementowych podzbiorów.
  • Metoda dopełnienia: „co najmniej" liczone przez „wszystkie minus żadne".

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Restauracja oferuje $5$ przystawek, $8$ dań głównych i $4$ desery. Ile trzydaniowych zestawów? A ile posiłków „danie główne + przystawka albo deser"?

  2. Ile jest liczb trzycyfrowych o cyfrach parzystych (cyfry: $0, 2, 4, 6, 8$)?

  3. Rzucasz $8$ razy kostką. Ile sekwencji wyników ma co najmniej jedną szóstkę?

  4. Na ile sposobów można ustawić na półce $6$ różnych książek tak, by dwie konkretne stały obok siebie?

  5. Z $20$ uczniów wybierasz trzyosobową reprezentację na konkurs. Na ile sposobów? A jeśli dodatkowo wskazujesz w niej lidera?

  6. W urnie jest $7$ kul białych i $5$ czarnych. Na ile sposobów można wyjąć $4$ kule tak, by były wśród nich dokładnie $2$ białe?

Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. $5 \cdot 8 \cdot 4 = 160$. Drugie: $8 \cdot (5 + 4) = 72$ (mnożenie z sumą scenariuszy dodatku).

2. Pierwsza cyfra parzysta, ale nie $0$: $4$ opcje; pozostałe po $5$: $;4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$.

3. $6^8 - 5^8 = 1,679,616 - 390,625 = 1,288,991$ (dopełnienie: wszystkie minus „bez szóstki").

4. Blok: $5! \cdot 2! = 240$.

5. $\binom{20}{3} = 1140$. Z liderem: $1140 \cdot 3 = 3420$ (albo od razu: $\binom{20}{3}\cdot 3 = 20 \cdot \binom{19}{2}$; dwie drogi, jeden wynik $3420$).

6. $\binom{7}{2}\binom{5}{2} = 21 \cdot 10 = 210$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • stosować reguły mnożenia i dodawania (z ograniczeniami i bez podwójnego liczenia);
  • liczyć permutacje, wariacje (obu typów) i kombinacje, ze zrozumieniem wyprowadzeń;
  • (rozszerzenie) diagnozować model dwoma pytaniami i testem zamiany;
  • rozkładać zadania złożone na etapy/scenariusze i używać dopełnienia.