Zamknięcie działu 18

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: pojedynczego trafu nie przewidzisz, ale masą przypadku rządzą prawa; ułamek sprzyjających do wszystkich, a w rozszerzeniu drzewa scenariuszy, aktualizacja przekonań (Bayes) i, już poza podstawą programową, średnia na dłuższą metę ($E$), która rozstrzyga, czyje żyrandole opłacasz.

  • Język: $\Omega$, zdarzenia-zbiory, $\cup/\cap/{}'$; pewne, niemożliwe, wykluczające się.
  • Klasyczne: $P = \frac{|A|}{|\Omega|}$ (jednakowo możliwe, rozróżnialne wyniki!); $P(A') = 1 - P(A)$; suma z korektą.
  • (R) Drzewa: mnóż wzdłuż, dodawaj w poprzek; bez zwracania pula się zmienia; liście sumują się do $1$.
  • (R) Warunkowe: $P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$; niezależność $P(A\cap B) = P(A)P(B)$; moneta bez pamięci.
  • (R) Bayes: udział trasy w sumie tras; rzadkość bije czułość (test: 99% → 2%). Bernoulli: $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. [poza podstawą] $E = \sum x_ip_i$; Lotto na minusie.

📐 Słowniczek definicji działu 18

  • $\Omega$, zdarzenie elementarne, zdarzenie: świat wyników i jego podzbiory.
  • Prawdopodobieństwo klasyczne: sprzyjające / wszystkie (jednakowo możliwe).
  • (R) Drzewo; reguły mnożenia i dodawania tras: rachunek doświadczeń wieloetapowych.
  • (R) $P(A|B)$, niezależność, wzór Bayesa: informacja zawęża świat; odwracanie warunku.
  • (R) Schemat Bernoulliego: powtarzane niezależne próby o dwóch wynikach.
  • [poza podstawą] Zmienna losowa; $E(X)$: liczby na wynikach; środek ciężkości rozkładu.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Rzut dwiema kostkami. Oblicz $P(\text{suma} \ge 10)$ oraz $P(\text{suma} \ge 10 \text{ lub obie kostki równe})$.

  2. W klasie $12$ dziewcząt i $8$ chłopców. Losujesz dwuosobową delegację. Oblicz $P(\text{mieszana})$.

  3. Rzucasz monetą trzykrotnie. Oblicz $P(\text{co najmniej jeden orzeł})$ dwiema metodami: sumą tras i dopełnieniem.

  4. (R) Z talii wyciągnięto kartę: jest czerwona. Jakie jest prawdopodobieństwo, że to kier?

  5. (R) Dwie skrzynki: pierwsza ma $2$ dobre i $2$ wadliwe sztuki, druga $3$ dobre i $1$ wadliwą. Losujesz skrzynkę (po równo), potem sztukę; jest dobra. Oblicz prawdopodobieństwo, że pochodzi z drugiej skrzynki.

  6. (R) Snajper trafia z $p = 0{,}9$. Oblicz $P(\text{dokładnie } 8 \text{ trafień w } 10)$ oraz ([poza podstawą]) wartość oczekiwaną liczby trafień. (Podpowiedź do drugiego: $E$ liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego to $np$; uzasadnij to „po ludzku".)

Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. Suma $\ge 10$: pary $(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)$; $6$ z $36$: $\frac{1}{6}$. Dublet: $6$ par; wspólne: $(5,5),(6,6)$: $;P = \frac{6 + 6 - 2}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

2. Liczymy pary uporządkowane (reguła mnożenia): wszystkich $20 \cdot 19 = 380$, mieszanych $2 \cdot 12 \cdot 8 = 192$ (dziewczyna pierwsza albo chłopiec pierwszy). $;P = \frac{192}{380} = \frac{48}{95} \approx 0{,}51$.

3. Dopełnienie: $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{7}{8}$. Sumą tras: $P(1) + P(2) + P(3) = \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ ✓.

4. $P(\text{kier}|\text{czerwona}) = \frac{13/52}{26/52} = \frac{1}{2}$: świat zawężony do $26$ czerwonych, kierów w nim połowa.

5. Trasy „dobra": $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{4} = \frac{1}{4}$ i $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4} = \frac{3}{8}$. Bayes: $\frac{3/8}{1/4 + 3/8} = \frac{3/8}{5/8} = \frac{3}{5}$.

6. $\binom{10}{8}(0{,}9)^8(0{,}1)^2 = 45 \cdot 0{,}4305 \cdot 0{,}01 \approx 0{,}19$. $;E = np = 9$ trafień, bo każda z $10$ prób „wnosi" średnio $p = 0{,}9$ trafienia, a średnie się dodają.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • budować $\Omega$ i operować zdarzeniami-zbiorami;
  • liczyć prawdopodobieństwa klasyczne, licząc wyniki regułą mnożenia i dodawania;
  • (rozszerzenie) prowadzić doświadczenia wieloetapowe drzewem (ze zwracaniem i bez);
  • (rozszerzenie) warunkować, sprawdzać niezależność, odwracać warunki Bayesem;
  • (rozszerzenie) stosować schemat Bernoulliego; [poza podstawą] podejmować decyzje wartością oczekiwaną.