Zamknięcie działu 19

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: streszczenie danych to wybór, a każdy wybór coś odsłania i coś zakrywa. Średnia z medianą demaskują się nawzajem, a wykres bywa argumentem albo manipulacją, zależnie od osi. Tym działem domykasz Część V: umiesz liczyć możliwości (17), szanse (18) i czytać dane (19): komplet obywatelskiej matematyki niepewności.

  • Prezentacja: tabele częstości; wykres pod pytanie; manipulacje (ucięta oś, pole $k^2$, okno czasu).
  • Środek: średnia (suma), mediana (typowy przypadek, odporna), moda (najczęstsza); średnia $\gg$ mediana ⇒ prawy ogon; ważona $\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}$.
  • [poza podstawą] Rozrzut: $\sigma^2$ = średnia kwadratów odchyleń, $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ = typowa odległość od średniej; $\frac{2}{3}$ danych w $\bar{x} \pm \sigma$ (dzwonowate).
  • [poza podstawą] Centyle: pozycja na tle populacji; mediana = 50.; maturalne wyniki centylowe; alarm = przeskoki, nie pozycja.

📐 Słowniczek definicji działu 19

  • Liczebność / częstość; histogram: ile razy / jaki ułamek; rozkład danych liczbowych.
  • Średnia (też ważona), mediana, moda: trzy miary środka.
  • [poza podstawą] Rozstęp, wariancja $\sigma^2$, odchylenie standardowe $\sigma$: miary rozrzutu.
  • Wartość odstająca (outlier): obserwacja daleko od reszty; magnes na średnią.
  • [poza podstawą] Centyl, kwartyl, siatka centylowa: miary pozycyjne.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Dane: $5, 2, 8, 2, 6, 2, 9, 6$. Oblicz średnią, medianę i modę.
  2. Średnia pensja $5200$ zł, mediana $3900$ zł. Naszkicuj (słowami) kształt rozkładu i podaj, która miara lepiej opisuje „typową pensję".
  3. Uczeń ma oceny $4, 4, 5$ ze sprawdzianów (waga $2$) i $3, 5$ z odpowiedzi (waga $1$). Oblicz średnią ważoną.
  4. Na wykresie sprzedaży oś pionowa zaczyna się od $95$ tys., słupki: $96$ i $99$ tys. Jak wygląda to dla oka, a jaki jest realny wzrost procentowy?
  5. [poza podstawą] Oblicz odchylenie standardowe danych $1, 3, 5, 7, 9$ i zinterpretuj wynik jednym zdaniem.
  6. [poza podstawą] W teście brało udział $1200$ osób. Wynik Ani przewyższył $1020$ z nich. Podaj centyl Ani i liczbę osób z lepszym wynikiem.
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. Uporządkuj: $2,2,2,5,6,6,8,9$. Średnia $\frac{40}{8} = 5$; mediana $\frac{5+6}{2} = 5{,}5$; moda $2$.

2. Prawy ogon (garść wysokich pensji): większość zarabia w okolicach $3$–$4{,}5$ tys., mniejszość znacznie więcej. Typową pensję lepiej opisuje mediana.

3. $\frac{2(4+4+5) + 1(3+5)}{2 \cdot 3 + 2} = \frac{26 + 8}{8} = \frac{34}{8} = 4{,}25$.

4. Oko widzi słupek czterokrotnie wyższy ($1$ vs $4$ jednostki nad cięciem); realnie wzrost $\frac{3}{96} \approx 3%$.

5. $\bar{x} = 5$; odchylenia $-4,-2,0,2,4$; kwadraty $16,4,0,4,16$: $\sigma^2 = 8$, $\sigma = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$; wyniki odbiegają od piątki typowo o niecałe trzy jednostki.

6. $\frac{1020}{1200} = 85%$: $85$. centyl; lepszych: $1200 - 1020 - 1 = 179$ osób (pomijając remisy: ok. $15%$ stawki).

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • porządkować i wizualizować dane oraz demaskować manipulacje wykresami;
  • liczyć i dobierać miary środka (z ważoną włącznie) do sytuacji i intencji;
  • [poza podstawą] mierzyć rozrzut odchyleniem standardowym i interpretować je po ludzku;
  • [poza podstawą] operować centylami: pozycja, siatki, wyniki maturalne.