Zamknięcie działu 20

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: „coraz bliżej" stało się rachunkiem. Granica, gra w pas z §11.5, objęła funkcje, nazwała ciągłość (i dała jej twierdzenie z mocą dowodzenia istnienia), a asymptoty awansowały z metafory do definicji. Wszystko gotowe na wielki finał: w Dziale 21 z granicy ilorazu z dziurą urodzi się pochodna.

  • Granice ciągów: warsztat: arytmetyka granic; $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$ nieoznaczone; dzielenie przez najwyższą potęgę.
  • Granica funkcji: droga do punktu ($a$ samo nieistotne); $\frac{0}{0}$ → skróć i podstaw; jednostronne; $x \to \infty$.
  • Ciągłość: $\lim = f(a)$; awarie: dziura/skok/ucieczka; szkolny zwierzyniec ciągły; Darboux → istnienie pierwiastków + połowienie.
  • Asymptoty: pozioma (granica w $\infty$; wolno przecinać), pionowa (nieskracalne zero mianownika), dziura ≠ asymptota.

📐 Słowniczek definicji działu 20

  • Symbol nieoznaczony: $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $\frac{0}{0}$: wynik rozstrzyga przekształcenie.
  • Granica funkcji w punkcie / w nieskończoności; granice jednostronne: dokąd zmierzają wartości.
  • Ciągłość w punkcie: $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.
  • Własność Darboux: ciągła przyjmuje wszystkie wartości pośrednie.
  • Asymptota pozioma / pionowa (ukośna): proste-szkielet zachowań granicznych.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Oblicz: $\lim \frac{7n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 5}$ oraz $\lim \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$.
  2. Oblicz $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ i opisz, co dzieje się na wykresie tej funkcji w $x = 4$.
  3. Zbadaj, czy funkcja $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ z dodatkowo przyjętym $f(3) = 6$ jest ciągła w $x = 3$.
  4. Wykaż, że równanie $x^5 + x - 3 = 0$ ma rozwiązanie w przedziale $(1, 2)$. Czemu na pewno dokładnie jedno? (Monotoniczność!)
  5. Wyznacz wszystkie asymptoty $f(x) = \frac{2x^2 - 2}{x^2 - 2x - 3}$. (Rozłóż mianownik, i licznik.)
  6. Podaj przykład funkcji, która ma asymptotę pionową $x = 1$ i poziomą $y = -2$, i uzasadnij granicami.
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. Stopnie równe: $\frac{7}{2}$. Drugie: podziel przez $3^n$: $\frac{1 - 1/3^n}{1 + 1/3^n} \to 1$.

2. $\frac{(x-4)(x+4)}{x-4} = x + 4 \to 8$: dziura w punkcie $(4, 8)$ na prostej $y = x + 4$.

3. Granica: $\lim (x+3) = 6 = f(3)$ ✓; ciągła (dziurę załatano właściwą wartością).

4. $f(1) = -1 < 0$, $f(2) = 31 > 0$, wielomian ciągły → pierwiastek istnieje (Darboux). Jedyność: $f$ jest sumą funkcji rosnących $x^5$ i $x - 3$, więc rosnąca, a rosnąca ma co najwyżej jedno zero (§5.3).

5. Licznik $2(x-1)(x+1)$; mianownik $(x-3)(x+1)$. Skraca się $(x+1)$: w $x = -1$ dziura; pionowa tylko $x = 3$. Stopnie równe: pozioma $y = 2$.

6. Np. $f(x) = \frac{1}{x-1} - 2$: przy $x \to 1^\pm$ ucieczka $\pm\infty$ (pionowa $x=1$), a $\lim_{x\to\pm\infty} f = 0 - 2 = -2$ (pozioma). To hiperbola po przeprowadzce o $[1, -2]$; Dział 6 kłania się na do widzenia.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • liczyć granice ciągów i funkcji (arytmetyka, dzielenie przez potęgę, skróć-i-podstaw);
  • rozpoznawać symbole nieoznaczone i rozstrzygać je przekształceniem;
  • badać ciągłość i dowodzić istnienia pierwiastków własnością Darboux;
  • wyznaczać asymptoty (z odróżnieniem dziury) i czytać z nich zachowania graniczne.