Zamknięcie działu 21

📌 Najważniejsze w pigułce (cały dział)

Motyw: pochodna (granica ilorazu różnicowego) mierzy zmianę „dokładnie teraz" i czyta funkcje na wylot. Od siecznej do stycznej, od znaku $f'$ do monotoniczności, od $f' = 0$ do szczytów, od szczytów do najlepszych decyzji, od wszystkiego naraz, do pełnego portretu. To finał przewodnika: sześć części, dwadzieścia jeden działów, jedna spójna opowieść, od „skąd wiadomo na pewno?" (§1.1) do „jak zmienia się świat w tej chwili?".

  • Iloraz różnicowy: $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; średnie tempo, nachylenie siecznej.
  • Pochodna: $f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$; styczna $y = f'(a)(x-a)+f(a)$; $(x^n)' = nx^{n-1}$ + liniowość.
  • Monotoniczność: znak $f'$ na przedziale (nie sklejaj przez dziury!).
  • Ekstrema: kandydaci $f' = 0$, rozstrzyga zmiana znaku ($x^3$: strażnik pułapki).
  • Optymalizacja: schemat 5 kroków; globalne = kandydaci vs brzegi.
  • Przebieg zmienności: protokół → tabela → szkic; kontrola Darboux.

📐 Słowniczek definicji działu 21

  • Iloraz różnicowy: średnie tempo zmiany; nachylenie siecznej.
  • Pochodna $f'(a)$; styczna: chwilowe tempo; graniczna prosta siecznych.
  • Warunek konieczny / wystarczający ekstremum: $f' = 0$ / zmiana znaku $f'$.
  • Ekstremum lokalne vs globalne: rekord okolicy vs rekord przedziału (z brzegami).
  • Badanie przebiegu zmienności: pełny protokół portretowania funkcji.

🎒 Sprawdzian działowy

  1. Oblicz z definicji pochodną $f(x) = x^2 - 4x$ w punkcie $a = 3$.
  2. Napisz równanie stycznej do $y = x^3$ w punkcie $(2, 8)$ i wyjaśnij, czemu ta prosta nachylona jest aż pod $\operatorname{tg}\alpha = 12$.
  3. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5$.
  4. Znajdź największą wartość $f(x) = x^3 - 3x$ na przedziale $[0, 3]$.
  5. Suma dwóch liczb dodatnich wynosi $30$. Zmaksymalizuj iloczyn pierwszej i kwadratu drugiej.
  6. Zbadaj przebieg zmienności $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ i podaj liczbę jego miejsc zerowych.
Rozwiązania: sprawdzian działowy (krok po kroku)

1. $\frac{(3+h)^2 - 4(3+h) - (-3)}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h \to 2$.

2. $f' = 3x^2$, $f'(2) = 12$: $;y = 12(x-2) + 8 = 12x - 16$. Sześcienna rośnie w $x=2$ dwunastokrotnie szybciej niż $x$; styczna to zapis tego tempa nachyleniem (§12.1: tangens kąta nachylenia = współczynnik kierunkowy).

3. $f' = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x-3)(x+1)$: maleje na $(-\infty, -1]$, rośnie na $[-1, 3]$, maleje od $3$; min lokalne $f(-1) = -10$, max lokalne $f(3) = 22$.

4. $f' = 3x^2 - 3$: kandydat $x = 1$ ($-1$ poza przedziałem). Wartości: $f(0) = 0$, $f(1) = -2$, $f(3) = 18$. Największa: $18$ (brzeg; kandydat był minimum).

5. Pierwsza liczba $x$, druga $30 - x$: cel $f(x) = x(30-x)^2$ na $(0, 30)$; $;f' = (30-x)(30 - 3x)$: kandydat $x = 10$, znak $+\to-$: max. Liczby $10$ i $20$; iloczyn $10 \cdot 400 = 4000$.

6. $f' = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2)$: max lokalne $f(1) = 2$, min lokalne $f(2) = 1$. Granice $\mp\infty$. Oba ekstrema nad osią → wykres przecina oś tylko raz, przed szczytem (Darboux: $f(0) = -3 < 0 < f(1)$; pierwiastek w $(0,1)$). Jedno miejsce zerowe.

🔍 Sprawdź, czy umiesz (cele działu)

Po tym dziale potrafisz:

  • policzyć pochodną z definicji i wzorami; napisać styczną;
  • badać monotoniczność i ekstrema tabelą znaków (bez wpadki $x^3$);
  • optymalizować dowolne gładkie wielkości, z dziedziną i brzegami;
  • sporządzić pełny portret funkcji i czytać z niego odpowiedzi.

Koniec części szóstej, i koniec przewodnika. Zacząłeś od pytania, skąd matematyka wie cokolwiek na pewno; kończysz, mierząc zmianę świata w pojedynczej chwili. Wszystko pomiędzy: liczby, litery, funkcje, przestrzeń, przypadek, to jedna opowieść. Powodzenia na maturze, ale ważniejsze, że masz już w rękach sposób myślenia, którego nikt Ci nie odbierze.