Zamknięcie działu 5

Logicyzm — program badawczy Fregego, według którego cała matematyka jest częścią logiki.
Logika predykatów — potężniejszy od sylogistyki system logiczny z kwantyfikatorami i relacjami.
Paradoks Russella — sprzeczność w nieograniczonej teorii zbiorów Fregego.
Teoria typów — hierarchiczny system Russella i Whiteheada eliminujący paradoks Russella.
Principia Mathematica — dzieło Russella i Whiteheada (1910–1913) ratujące projekt logicyzmu.
Program Hilberta (formalizm) — dążenie do zapisania matematyki jako niesprzecznego i zupełnego systemu formalnego.
Twierdzenia Gödla o niezupełności — dowód (1931), że żaden dostatecznie bogaty system formalny nie może być zarazem zupełny i dowodzić własnej niesprzeczności.
Maszyna Turinga — abstrakcyjny matematyczny model obliczeń, fundament pojęcia algorytmu.
Problem stopu — dowód (1936) nierozstrzygalności: nie istnieje uniwersalny algorytm rozstrzygający, czy dowolny program się zatrzyma.
Odkrycie Shannona (1937) — związek algebry Boole'a z obwodami elektrycznymi.
Architektura von Neumanna — schemat komputera z programem i danymi we wspólnej pamięci.
Test Turinga (gra w naśladowanie) — behawioralne kryterium „myślenia" maszyny (1950).
Zarzut pokoju chińskiego — argument Searle'a, że manipulacja symbolami nie dowodzi rozumienia.

Frege próbował wyprowadzić matematykę z logiki (logicyzm) — paradoks Russella (1902) niemal zniszczył ten projekt, uratowany przez teorię typów w Principia Mathematica.
Hilbert chciał udowodnić absolutną niesprzeczność i zupełność matematyki — Gödel (1931) pokazał, że to niemożliwe dla dostatecznie bogatych systemów.
Turing (1936), definiując maszynę Turinga, dowiódł nierozstrzygalności problemu stopu — i przy okazji stworzył teoretyczny fundament informatyki.
Shannon (1937) połączył algebrę Boole'a z obwodami elektrycznymi; von Neumann (1945) zaprojektował architekturę komputera z pamięcią współdzieloną — razem dały początek pierwszym komputerom elektronicznym (ENIAC, Colossus).
Turing (1950) zaproponował test behawioralny („grę w naśladowanie") jako sposób ominięcia trudnego pytania „czy maszyna może myśleć?" — pytanie to, wraz z krytyką Searle'a i innymi zarzutami, pozostaje aktualne do dziś.

Pytania do refleksji:

Wyjaśnij, na czym polegał projekt logicyzmu Fregego i dlaczego paradoks Russella był dla niego tak groźny.
Opisz, jak Russell i Whitehead próbowali uratować logicyzm w Principia Mathematica. Jakim kosztem?
Wyjaśnij intuicyjnie, na czym polegają twierdzenia Gödla o niezupełności. Dlaczego były one wstrząsem dla programu Hilberta?
Czym jest maszyna Turinga i dlaczego uznaje się ją za teoretyczny fundament informatyki, mimo że nigdy nie została zbudowana jako fizyczne urządzenie?
Opisz, w jaki sposób trzy niezależne odkrycia — algebra Boole'a, maszyna Turinga i architektura von Neumanna — połączyły się, dając początek pierwszym komputerom elektronicznym.
Wyjaśnij, dlaczego Turing uznał pytanie „czy maszyna może myśleć?" za źle postawione, i jak zaproponował je zastąpić. Przedstaw przynajmniej jeden poważny zarzut wobec jego rozwiązania.
Porównaj kryzys logicyzmu (paradoks Russella) z kryzysem programu Hilberta (twierdzenia Gödla) — co je łączy jako pewien powtarzający się wzorzec w historii logiki i matematyki XX wieku?