Dowodzenie tożsamości: algebra jako narzędzie prawdy
🎯 Po co Ci to?
Wzór $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ma być prawdziwy dla wszystkich $a$ i $b$. Sprawdziliśmy go na kwadracie i na jednym przykładzie liczbowym, ale to (jak wiesz z §1.5) jeszcze nie dowód dla wszystkich. Ta jednostka pokazuje, jak algebra dowodzi takich równości raz na zawsze: przez przekształcenie, nie przez sprawdzanie. To domyka całą Część I: język pewności z Działu 1 spotyka się z literami z Działu 4.
✅ Czego się nauczysz
- odróżniać tożsamość od równania;
- dowodzić tożsamość przez przekształcenie jednej strony w drugą;
- dowodzić prostych faktów o podzielności i resztach z dzielenia (zapis $2k$, $2k+1$, $4k+r$).
📘 Wyjaśnienie
📐 DEFINICJA (tożsamość): to równość dwóch wyrażeń, prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych wartości liter (np. $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$). Różni się od równania, które jest prawdziwe tylko dla niektórych liczb (np. $x + 2 = 5$ tylko dla $x = 3$).
Jak udowodnić tożsamość? Nie sprawdzając przykładów, lecz przekształcając jedną stronę, aż stanie się drugą, samymi legalnymi krokami (to dowód wprost z §1.5, tylko na literach).
Przykład. Udowodnij, że $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ dla wszystkich $a, b$.
Dowód. Rozwińmy lewą stronę wzorami z §4.2: $$(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2).$$ Opuszczamy nawias (uwaga na znaki!): $a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$. Redukujemy: $a^2$ i $b^2$ znoszą się, zostaje $2ab + 2ab = 4ab$. Otrzymaliśmy prawą stronę. ∎
Nie podstawiliśmy żadnej liczby, a równość jest teraz pewna dla nieskończenie wielu par $a, b$. To właśnie po to matematyka trzyma litery: żeby dowodzić, a nie tylko sprawdzać.
Dowody podzielności. Litery dowodzą też faktów o liczbach całkowitych. Klucz: zapisz liczbę w postaci, która pokazuje jej resztę z dzielenia. Przy dzieleniu przez $2$ każda liczba całkowita to $2k$ albo $2k + 1$; przy dzieleniu przez $4$ to $4k$, $4k + 1$, $4k + 2$ albo $4k + 3$ (dla pewnego całkowitego $k$).
Przykład 1. Udowodnij, że liczba, która przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$, nie jest kwadratem liczby całkowitej.
Dowód. Sprawdźmy, jakie reszty dają kwadraty. Liczba parzysta $n = 2m$: $n^2 = 4m^2$, reszta $0$. Liczba nieparzysta $n = 2m + 1$: $n^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4(m^2 + m) + 1$, reszta $1$. Kwadrat liczby całkowitej daje więc przy dzieleniu przez $4$ resztę $0$ albo $1$, nigdy $3$. ∎
Przykład 2. Udowodnij, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez $24$.
Dowód. Weźmy $n(n+1)(n+2)(n+3)$. Wśród czterech kolejnych liczb są dwie parzyste, i to kolejne parzyste, więc jedna z nich dzieli się przez $4$, a druga przez $2$: iloczyn dzieli się przez $8$. Wśród trzech kolejnych liczb (a mamy ich nawet cztery) jest liczba podzielna przez $3$. Iloczyn dzieli się więc przez $8$ i przez $3$, a skoro te liczby nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$, dzieli się przez $8 \cdot 3 = 24$. ∎
Zauważ schemat obu dowodów: zamiast sprawdzać liczby jedną po drugiej, rozpatrujesz wszystkie możliwe reszty. Przypadków jest kilka, a obejmują nieskończenie wiele liczb.
💭 Pomyśl: Czy $2(x+3) = 2x + 6$ to tożsamość, czy równanie?
Sprawdź odpowiedź
To tożsamość: prawdziwa dla każdego $x$ (to po prostu wymnożony nawias). Gdyby było $2(x+3) = 10$, to już równanie, prawdziwe tylko dla $x = 2$.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Tożsamość: prawdziwa dla wszystkich liter; równanie, tylko dla niektórych.
- Tożsamość dowodzimy przekształceniem jednej strony w drugą (dowód wprost na literach).
- Przekształcenie na literze zastępuje nieskończenie wiele sprawdzeń liczbowych.
- Podzielność: zapisz liczbę przez resztę ($2k + 1$, $4k + 3$…) i przekształcaj; kwadrat daje przy dzieleniu przez $4$ resztę $0$ albo $1$.
🎒 Zadania
- Rozstrzygnij: tożsamość czy równanie? (a) $3(x-1) = 3x - 3$; (b) $x^2 = 9$.
- Udowodnij tożsamość: $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2a^2 + 2b^2$.
- Udowodnij, że $(n-1)(n+1) + 1 = n^2$ dla każdego $n$.
- Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez $3$.
- Udowodnij, że kwadrat liczby nieparzystej przy dzieleniu przez $8$ daje resztę $1$.
Rozwiązanie krok po kroku
1. (a) $3(x-1)=3x-3$: tożsamość (to wymnożony nawias, prawda dla każdego $x$). (b) $x^2=9$: równanie, prawda tylko dla $x=3$ i $x=-3$.
2. Lewa: $(a+b)^2+(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)$. Wyrazy $+2ab$ i $-2ab$ znoszą się → $2a^2+2b^2$ = prawa. ∎
3. $(n-1)(n+1)=n^2-1$ (różnica kwadratów), więc $(n-1)(n+1)+1=n^2-1+1=n^2$. ∎
4. $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$: iloczyn trójki i liczby całkowitej. ∎
5. $(2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m+1) + 1$. Spośród dwóch kolejnych liczb $m$ i $m+1$ jedna jest parzysta, więc $m(m+1) = 2t$, a $4m(m+1) = 8t$. Zostaje reszta $1$. ∎
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- odróżnić tożsamość od równania;
- udowodnić prostą tożsamość przez przekształcenie;
- udowodnić fakt o podzielności, rozpatrując możliwe reszty.