Wielomian jako suma potęg
🎯 Po co Ci to?
Weź kartkę $20 \times 30$ cm, wytnij z rogów cztery kwadraciki o boku $x$ i zegnij ścianki: powstanie pudełko. Jaka jest jego objętość? $V(x) = x(20 - 2x)(30 - 2x)$. Wymnóż, a zobaczysz $4x^3 - 100x^2 + 600x$: potęgi trzy, dwa, jeden, posklejane plusami. Takie funkcje-składaki opisują objętości, trajektorie w grafice 3D i krzywe, którymi projektanci rysują karoserie. Zanim zaczniemy na nie polować, trzeba nauczyć się nimi płynnie operować.
✅ Czego się nauczysz
- rozpoznawać wielomian, jego stopień i współczynniki;
- dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany;
- rozumieć, kiedy dwa wielomiany są równe (i do czego to służy).
📘 Wyjaśnienie
📐 DEFINICJA (wielomian (jednej zmiennej)): wyrażenie postaci $$W(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,$$ gdzie $a_n \ne 0$. Liczba $n$ to stopień wielomianu, liczby $a_i$ to współczynniki, a $a_0$ to wyraz wolny.
Czytaj to jak skład pociągu: wagon z $x^3$, wagon z $x^2$… aż po lokomotywę-stałą na końcu. Stopień to numer najstarszego wagonu. Wielomianami są więc: stała ($W(x) = 7$, stopień $0$), funkcja liniowa (stopień $1$), kwadratowa (stopień $2$); cała Twoja dotychczasowa menażeria to najniższe piętra jednej wieży.
Działania nie kryją nic nowego, to algebra z Działu 4, tylko na dłuższych wyrażeniach:
- Dodawanie/odejmowanie = redukcja wyrazów podobnych, wagon do wagonu: $(x^3 + 2x - 1) + (x^2 - 2x + 5) = x^3 + x^2 + 4$.
- Mnożenie = każdy wyraz z każdym: $(x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2 = x^3 - x^2 - 5x + 2$. Kontrola stopnia za darmo: stopień iloczynu to suma stopni ($1 + 2 = 3$ ✓), bo najstarsze wagony mnożą się na $x^{n+m}$ i nic ich nie skróci.
I rzecz z pozoru oczywista, a bardzo mocna:
📐 FAKT (równość wielomianów): dwa wielomiany są równe (jako funkcje; dają to samo wyjście dla każdego wejścia) dokładnie wtedy, gdy mają identyczne współczynniki przy każdej potędze.
„Porównaj wagon z wagonem" to standardowa technika wyznaczania nieznanych liter: zobaczysz ją w zadaniu 3, a w zakresie rozszerzonym to na niej stoi dowód wzorów Viète'a.
💭 Pomyśl: Jaki stopień ma wielomian $(x^2 + 1)(x^3 - x)$, a jaki wyraz wolny, bez pełnego wymnażania?
Sprawdź odpowiedź
Stopień: $2 + 3 = 5$. Wyraz wolny: iloczyn wyrazów wolnych, $1 \cdot 0 = 0$ (skoro wyraz wolny to wartość w zerze, a $W(0) = (0+1)(0-0) = 0$). Dwa pytania, zero mnożenia.
⚠️ Uwaga, pułapka
$(2x^3 + \dots) - (x^3 + 5x - 2)$: minus przed nawiasem odwraca znak każdego wyrazu w środku, także ostatniego. Zgubienie „$+2$" na końcu to najbanalniejszy i najczęstszy błąd całego działu (znasz go z §4.4). Druga pułapka: stopień sumy bywa mniejszy niż stopnie składników; $(x^3 + x) + (-x^3 + 1) = x + 1$: najstarsze wagony się zniosły. Przy iloczynie to niemożliwe, przy sumie to codzienność.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Wielomian = suma potęg ze współczynnikami; stopień = najwyższa potęga; $a_0 = W(0)$.
- Dodawanie: wagon do wagonu. Mnożenie: każdy z każdym; stopnie się sumują.
- Równość wielomianów = równość wszystkich współczynników (technika: porównywanie).
- Stała, liniowa, kwadratowa, to wielomiany stopni $0, 1, 2$.
🎒 Zadania
- Dla $W(x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$ (pudełko ze wstępu) oblicz $W(5)$ i zinterpretuj wynik.
- Wykonaj: $(2x^2 - x + 3)(x - 4)$ i podaj stopień oraz wyraz wolny wyniku.
- Wyznacz $a$ i $b$, jeśli równość $x^2 + ax + 6 = (x + 2)(x + b)$ ma zachodzić dla każdego $x$.
Rozwiązanie krok po kroku
1. $W(5) = 4 \cdot 125 - 100 \cdot 25 + 3000 = 500 - 2500 + 3000 = 1000$ cm³: litrowe pudełko przy rogach $5$ cm.
2. $2x^3 - 8x^2 - x^2 + 4x + 3x - 12 = 2x^3 - 9x^2 + 7x - 12$. Stopień $3$, wyraz wolny $-12$ (kontrola: $3 \cdot (-4) = -12$ ✓).
3. Prawa strona: $x^2 + (b+2)x + 2b$. Porównaj wagony: wyrazy wolne $2b = 6 \Rightarrow b = 3$; przy $x$: $a = b + 2 = 5$. (Kontrola: $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$ ✓.)
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- wykonać działania na wielomianach z kontrolą stopnia i wyrazu wolnego;
- wyznaczyć nieznane współczynniki porównywaniem.