Proporcjonalność odwrotna — hiperbola

🎯 Po co Ci to?

Trasa $120$ km. Jedziesz $60$ km/h: dwie godziny. Jedziesz $120$ km/h: godzina. Rowerem $20$ km/h: sześć godzin. Zauważ regułę: prędkość razy czas to zawsze $120$. Gdy jedno rośnie, drugie maleje, dokładnie w takim rytmie, by iloczyn stał w miejscu. Ten sam wzór rządzi dzieleniem pizzy między głodnych, czasem pracy ekipy remontowej i ciśnieniem ściskanego gazu. Ma swoją krzywą (hiperbolę) i swój charakter, który warto poznać osobiście.

✅ Czego się nauczysz

• rozpoznawać proporcjonalność odwrotną ($xy = a$) i wyznaczać współczynnik;
• szkicować hiperbolę $y = \frac{a}{x}$ i czytać jej własności;
• rozumieć, czym jest asymptota, i dlaczego wykres jej nie dotyka.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (proporcjonalność odwrotna): związek $y = \frac{a}{x}$ (równoważnie: $x \cdot y = a$), gdzie $a \ne 0$ to współczynnik proporcjonalności. Dziedzina: $x \ne 0$.

Test na proporcjonalność odwrotną jest jeden: czy iloczyn obu wielkości jest stały? Trasa: $v \cdot t = 120$ ✓. A współczynnik znajdziesz z jednej pary danych: skoro przez punkt $(2, 6)$ przechodzi wykres $y = \frac{a}{x}$, to $a = 2 \cdot 6 = 12$.

Wykres $y = \frac{a}{x}$ to hiperbola. Obejrzyj ją uważnie, to nowy zwierz w Twojej menażerii:

Co widać (dla $a > 0$; przy $a < 0$ gałęzie przeskakują do ćwiartek II i IV):

• Dwie osobne gałęzie. Wykres jest rozcięty w $x = 0$, tam funkcja nie istnieje. To nie jedna krzywa z przerwą, to dwa światy: dodatni i ujemny.
• Malejące ramiona, rosnący dramat. Na każdej gałęzi z osobna: większe $x$, mniejsze $y$ (dla $a>0$). Podwajasz prędkość, czas spada o połowę.
• Asymptoty. Gdy $x$ rośnie w nieskończoność, $\frac{a}{x}$ maleje ku zeru: wykres kładzie się coraz bardziej płasko wzdłuż osi poziomej, ale wartości $0$ nie osiąga nigdy (ułamek o niezerowym liczniku nie bywa zerem). Symetrycznie przy $x \to 0$: wykres wspina się wzdłuż osi pionowej. Prosta, do której wykres zbliża się dowolnie blisko, lecz jej nie dotyka, to asymptota, tu obie osie układu.

Nazwa mówi wszystko: asymptotos to po grecku „nieschodzące się". Dwie linie, które zbliżają się wiecznie i nie spotkają nigdy: starożytni uważali to za paradoks godny filozofów, a Ty w Części VI nazwiesz to granicą i policzysz.

Jeszcze jedno spojrzenie na rycinę: punkty $(2, 3)$ i $(3, 2)$, oba na wykresie, bo $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 = 6$. Hiperbola $y = \frac{a}{x}$ jest symetryczna względem prostej $y = x$ (zamiana miejscami $x$ i $y$ nie psuje warunku $xy = a$), a do tego $f(-x) = -f(x)$: gałąź trzeciej ćwiartki to obrócona o $180°$ kopia pierwszej (w zakresie rozszerzonym nazywa się tę własność nieparzystością).

💭 Pomyśl: $6$ malarzy pomaluje blok w $10$ dni. Ilu malarzy trzeba, by zdążyć w $4$ dni? (Co jest tu stałym iloczynem?)

Sprawdź odpowiedź

Stała jest „robota": $6 \cdot 10 = 60$ malarzodni. $;m \cdot 4 = 60 \Rightarrow m = 15$ malarzy. (Model zakłada, że malarze się nie potykają o siebie, jak każdy model, ma granice stosowalności; por. §2.5.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Nie każde „jedno rośnie, drugie maleje" to proporcjonalność odwrotna! Cena $= 100 - x$ też maleje, a iloczynu stałego nie ma. Prawdziwy test to stały iloczyn, nie kierunek zmian. I druga rzecz: mówienie „hiperbola maleje" bez wskazania gałęzi jest nieprecyzyjne; między gałęziami funkcja skacze z $-\infty$ na $+\infty$ (porównaj $f(-1) = -6 < f(1) = 6$ dla $a = 6$). Malejąca jest na $(-\infty, 0)$ i osobno na $(0, \infty)$; na całej dziedzinie już nie.

🕰️ Skąd to się wzięło

Hiperbolę znali już starożytni Grecy: Apoloniusz z Pergi (III w. p.n.e.) badał ją jako jedno z trzech cięć stożka (obok elipsy i paraboli) i nadał jej dzisiejszą nazwę. Ale najsłynniejszy stały iloczyn przyszedł z laboratorium: w 1662 r. Robert Boyle ustalił, że dla zamkniętego gazu w stałej temperaturze ciśnienie razy objętość jest stałe ($pV = \text{const}$); ściśniesz gaz do połowy objętości, ciśnienie skoczy dwukrotnie. Wykres tej zależności, rysowany w każdej pracowni fizycznej świata, to dokładnie Twoja hiperbola z ryciny. Jedna krzywa: geometria Greków, pompka rowerowa i butla nurka.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Proporcjonalność odwrotna: $y = \frac{a}{x}$, czyli stały iloczyn $xy = a$; współczynnik z jednej pary danych.
• Wykres: hiperbola; dwie gałęzie (ćwiartki I i III dla $a > 0$, II i IV dla $a < 0$).
• Asymptoty: obie osie; wykres zbliża się dowolnie blisko, nie dotyka nigdy.
• Malejąca na każdej gałęzi osobno (dla $a>0$); wykres symetryczny względem początku układu.

🎒 Zadania

1. Wykres proporcjonalności odwrotnej przechodzi przez punkt $(4, 9)$. Podaj wzór i oblicz wartość dla $x = 6$.
2. Zbiornik napełnia się w $12$ godzin przy $5$ jednakowych pompach. Ile godzin zajmie napełnianie przy $8$ pompach?
3. Dla $f(x) = \frac{8}{x}$: podaj dziedzinę, naszkicuj wykres, wskaż asymptoty i przedziały, na których funkcja maleje.
4. Rozstrzygnij: czy zależność „liczba stron przeczytanych dziennie × liczba dni = długość książki" to proporcjonalność odwrotna? A „temperatura za oknem i długość dnia"?

Rozwiązanie krok po kroku

1. $a = 4 \cdot 9 = 36$, więc $y = \frac{36}{x}$; $;f(6) = 6$.

2. Stała robota: $5 \cdot 12 = 60$ pompogodzin; $;8t = 60 \Rightarrow t = 7{,}5$ godziny.

3. Dziedzina $x \ne 0$; gałęzie w ćwiartkach I i III (przez punkty $(1,8)$, $(2,4)$, $(4,2)$…); asymptoty: osie układu; malejąca na $(-\infty, 0)$ i na $(0, \infty)$; osobno.

4. Książka: TAK; iloczyn (długość książki) jest stały; mniej stron dziennie = więcej dni. Temperatura i długość dnia: NIE, obie wielkości są powiązane porą roku, ale żaden ich iloczyn nie jest stały; nie każdy związek to proporcjonalność.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• rozpoznać proporcjonalność odwrotną testem stałego iloczynu i znaleźć współczynnik;
• naszkicować hiperbolę z asymptotami i opisać jej monotoniczność bez skrótów myślowych.

---