Funkcja logarytmiczna

🎯 Po co Ci to?

Wykładnicza odpowiada na pytanie „ile będzie po $x$ krokach?". Ale świat równie często pyta odwrotnie: „po ilu krokach będzie tyle?". Ile lat lokaty do podwojenia? Jakie stężenie jonów daje pH $=3$? To pytania o wejście wykładniczej, a maszyna, która je obsługuje, to jej lustrzane odbicie: funkcja logarytmiczna. Logarytm znasz z §3.3 jako pojedynczy rachunek; teraz stanie się pełnoprawną funkcją z wykresem i charakterem.

✅ Czego się nauczysz

• rozumieć $f(x) = \log_a x$ jako odwrócenie wykładniczej;
• znać dziedzinę, miejsce zerowe, monotoniczność i asymptotę logarytmicznej;
• widzieć oba wykresy jako lustrzane odbicia względem prostej $y = x$.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (funkcja logarytmiczna): $f(x) = \log_a x$, gdzie $a > 0$, $a \ne 1$. Przypomnienie z §3.3: $\log_a x$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $a$, by dostać $x$. Dziedzina: $x > 0$.

Wykładnicza i logarytmiczna to ta sama informacja czytana w dwie strony: $2^3 = 8$ oraz $\log_2 8 = 3$ mówią jedno zdanie dwoma językami. Na wykresie ta dwustronność wygląda tak:

Krzywe są lustrzanymi odbiciami względem prostej $y = x$, bo zamiana ról „wejście ↔ wyjście" to dokładnie zamiana współrzędnych $(x, y) \to (y, x)$: punkt $(1, 2)$ wykładniczej (bo $2^1 = 2$) przechodzi w punkt $(2, 1)$ logarytmicznej (bo $\log_2 2 = 1$). Z tego lustra można odczytać wszystkie własności logarytmicznej, niczego nie kując:

• Dziedzina $x > 0$, bo zbiorem wartości wykładniczej były same liczby dodatnie (§10.1). Logarytmu z zera i liczb ujemnych nie ma.
• Miejsce zerowe: $x = 1$, lustro punktu $(0, 1)$; istotnie, $\log_a 1 = 0$, bo $a^0 = 1$.
• Monotoniczność jak u siostry: dla $a > 1$ rosnąca, dla $0 < a < 1$ malejąca.
• Asymptota pionowa: oś $y$, lustro poziomej asymptoty wykładniczej. Przy $x$ tuż nad zerem $\log_2 x$ spada w otchłań ($\log_2 \frac{1}{1024} = -10$).

Charakter logarytmicznej jest dokładnie odwrotny do wykładniczej: tamta z każdym krokiem przyspiesza, ta zwalnia. $\log_2$ z miliona to ledwie $\approx 20$, z miliarda $\approx 30$. Logarytm to kompresor ogromu: właśnie dlatego skale pH, Richtera i decybele (§3.4) są logarytmiczne, i dlatego wykresy „od 1 do miliarda" rysuje się na osi logarytmicznej.

💭 Pomyśl: Nie licząc: co jest większe, $\log_2 100$ czy $\log_{10} 100$? Dlaczego?

Sprawdź odpowiedź

$\log_{10} 100 = 2$ (bo $10^2 = 100$), a $\log_2 100$ leży między $6$ a $7$ (bo $2^6 = 64 < 100 < 128 = 2^7$). Większy jest $\log_2$: mniejsza podstawa potrzebuje więcej kroków-mnożeń, żeby dojść do tej samej liczby.

⚠️ Uwaga, pułapka

Zapis $\log_a x$ kusi, żeby traktować go jak „jakieś dzielenie", nie ulegaj. Jedyna niezawodna kotwica: logarytm to wykładnik. Każdą wątpliwość rozstrzygaj tłumaczeniem na potęgę: „$\log_3 81 = ?$" znaczy „trójka do której potęgi da $81$?". Odpowiedź: $4$. I pilnuj dziedziny: wyrażenie $\log_2(x-5)$ żyje tylko dla $x > 5$, to będzie kluczowe.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $\log_a x$ = wykładnik; funkcja logarytmiczna = lustro wykładniczej względem $y = x$.
• Dziedzina $x > 0$; zero w $x = 1$; asymptota pionowa: oś $y$.
• $a > 1$ rosnąca, $0 < a < 1$ malejąca, jak u wykładniczej siostry.
• Logarytm kompresuje ogrom (miliard → $\approx 30$ przy podstawie $2$), stąd skale logarytmiczne.

🎒 Zadania

1. Oblicz: $\log_2 32$; $;\log_5 \frac{1}{25}$; $;\log_7 7$; $;\log_9 3$.
2. Podaj dziedzinę funkcji $f(x) = \log_3(2x - 8)$.
3. Wykres $y = \log_2 x$ przesunięto o $3$ jednostki w prawo. Napisz wzór, podaj dziedzinę i równanie asymptoty po przesunięciu (Dział 6 wraca).

Rozwiązanie krok po kroku

1. $\log_2 32 = 5$ ($2^5 = 32$); $;\log_5 \frac{1}{25} = -2$ ($5^{-2} = \frac{1}{25}$); $;\log_7 7 = 1$; $;\log_9 3 = \frac{1}{2}$ ($9^{1/2} = 3$).

2. Wnętrze logarytmu dodatnie: $2x - 8 > 0 \Rightarrow x > 4$.

3. $y = \log_2(x - 3)$; dziedzina $x > 3$; asymptota pionowa $x = 3$: zakaz dziedziny pojechał razem z wykresem (jak dziura hiperboli w §6.2 zad. 3).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• obliczyć logarytm tłumacząc go na potęgę;
• odczytać własności logarytmicznej z lustra wykładniczej (dziedzina, zero, asymptota).

---