Ciąg jako funkcja liczb naturalnych

🎯 Po co Ci to?

Kolejne odczyty licznika, kolejne raty kredytu, kolejne rekordy w bieganiu: świat pełen jest wartości ponumerowanych: pierwsza, druga, trzecia… Do takich danych nie potrzeba całej osi liczbowej; wystarczą numery. Ciąg to funkcja, która zamiast „dla każdego $x$" mówi „dla każdego numeru", i ta drobna zmiana daje nowy, zwinny język: $a_1, a_2, a_3, \dots$

✅ Czego się nauczysz

• rozumieć ciąg jako funkcję o dziedzinie ${1, 2, 3, \dots}$;
• obliczać wyrazy ze wzoru ogólnego i z przepisu rekurencyjnego;
• badać monotoniczność ciągu.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (ciąg (liczbowy)): funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich ${1, 2, 3, \dots}$. Wartość dla numeru $n$ oznaczamy $a_n$ (zamiast $a(n)$) i nazywamy $n$-tym wyrazem; przepis na $a_n$ to wzór ogólny.

To naprawdę jest funkcja z Działu 5, tylko wejścia są policzalne: numer $\to$ wartość. Wykres ciągu to osobne kropki nad $1, 2, 3, \dots$ (nie łączy się ich linią; między numerem $2$ a $3$ nie ma „numeru $2{,}5$").

Wzór ogólny działa jak każda maszyna: $a_n = n^2 - n$ daje $a_1 = 0$, $a_2 = 2$, $a_3 = 6$, $a_{10} = 90$; dziesiąty wyraz bez liczenia dziewięciu wcześniejszych. Ale ciąg można też zadać przepisem na kolejny krok:

📐 DEFINICJA (przepis rekurencyjny): podajesz wyraz startowy (lub kilka) oraz regułę, jak z poprzednich wyrazów zrobić następny. Np. $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$ daje $1, 3, 7, 15, 31, \dots$

Rekurencja jest naturalna tam, gdzie świat sam „idzie krokami": stan konta w kolejnym miesiącu liczysz z poprzedniego, nie z numeru miesiąca. Ceną jest to, że do $a_{100}$ trzeba przejść przez wszystkie wcześniejsze; chyba że uda się odgadnąć wzór ogólny (dla ciągu wyżej: $a_n = 2^n - 1$; sprawdź!).

Monotoniczność ciągu bada się porównaniem sąsiadów: wygodnie przez różnicę:

$$a_{n+1} - a_n > 0 \text{ dla każdego } n ;\Longrightarrow; \text{ciąg rosnący}; \qquad < 0 ;\Longrightarrow; \text{malejący}.$$

Dla $a_n = n^2 - n$: $;a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 - (n+1) - n^2 + n = 2n > 0$; rosnący (algebra z §4.1 odwala robotę; „dla każdego $n$" pilnują kwantyfikatory).

💭 Pomyśl: Ciąg zadano wzorem $a_n = \frac{n+1}{n}$. Policz trzy pierwsze wyrazy i zgadnij: rośnie czy maleje?

Sprawdź odpowiedź

$a_1 = 2$, $a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3 = \frac{4}{3}$: maleje (nadwyżka $\frac{1}{n}$ ponad $1$ topnieje). Zauważ przy okazji: wyrazy zbliżają się do $1$, choć nigdy go nie osiągną; zapamiętaj to wrażenie: to przedsmak pojęcia granicy (w zakresie rozszerzonym §11.5, a na dobre w Części VI).

⚠️ Uwaga, pułapka

Sprawdzenie trzech wyrazów to nie jest dowód monotoniczności: ciąg może rosnąć na starcie i załamać się przy $n = 17$ (asymetria przykład/dowód, §1.5). Dowodzi się na literach: różnica $a_{n+1} - a_n$ z ustalonym znakiem dla każdego $n$. I uwaga na indeksy: $a_{n+1}$ znaczy „następny wyraz", a $a_n + 1$; „poprzedni plus jeden". Nawias w indeksie to nie ozdoba.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Ciąg = funkcja numerów ${1, 2, 3, \dots}$; wykres to kropki, nie linia.
• Wzór ogólny: $a_n$ z numeru; rekurencja: $a_{n+1}$ z poprzednich + start.
• Monotoniczność: znak różnicy $a_{n+1} - a_n$ dla każdego $n$ (dowód na literach).
• $a_{n+1} \ne a_n + 1$: indeks to numer, nie składnik.

🎒 Zadania

1. Dla $a_n = 3n - 20$ oblicz $a_1$, $a_5$, $a_{100}$ i wskaż, od którego numeru wyrazy są dodatnie.
2. Ciąg: $b_1 = 2$, $b_{n+1} = 3b_n - 2$. Wypisz $b_2, b_3, b_4$.
3. Zbadaj monotoniczność ciągu $c_n = \frac{n}{n+2}$.

Rozwiązanie krok po kroku

1. $a_1 = -17$, $a_5 = -5$, $a_{100} = 280$. Dodatnie: $3n - 20 > 0 \Rightarrow n > \frac{20}{3} \approx 6{,}67$, czyli od $n = 7$.

2. $b_2 = 4$, $b_3 = 10$, $b_4 = 28$.

3. $c_{n+1} - c_n = \frac{n+1}{n+3} - \frac{n}{n+2} = \frac{(n+1)(n+2) - n(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{2}{(n+3)(n+2)} > 0$: rosnący (wspólny mianownik; licznik po redukcji to czyste $2$).

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• policzyć wyrazy ze wzoru ogólnego i z rekurencji;
• udowodnić monotoniczność różnicą sąsiadów.

---