Ciąg arytmetyczny
🎯 Po co Ci to?
Bilet miesięczny drożeje co rok o $6$ zł. Słupki w płocie stoją co $2$ metry. Trening: w każdym tygodniu o $500$ metrów dłużej. Wszędzie ten sam mechanizm; stały przyrost, i wszędzie te same dwa pytania: „ile wyniesie setny wyraz?" oraz „jak to rozpoznać?". Ciąg arytmetyczny to prosta z §7.1 chodząca po schodkach: najczęstszy wzorzec danych, jaki spotkasz.
✅ Czego się nauczysz
- rozpoznawać ciąg arytmetyczny i wyznaczać różnicę $r$;
- używać wzoru ogólnego $a_n = a_1 + (n-1)r$;
- korzystać z własności średniej: każdy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiadów.
📘 Wyjaśnienie
📐 DEFINICJA (ciąg arytmetyczny): ciąg, w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała: $a_{n+1} - a_n = r$ dla każdego $n$. Liczbę $r$ nazywamy różnicą ciągu.
Przykład: $5, 8, 11, 14, \dots$; różnica $r = 3$. Test na arytmetyczność jest jeden: czy sąsiedzi różnią się zawsze o tyle samo? (Uwaga: $1, 2, 4, 7$ oblewa; różnice $1, 2, 3$ same rosną.)
Wzór ogólny bierze się z policzenia kroków. Z $a_1$ do $a_n$ idzie się $n-1$ krokami, każdy dokłada $r$:
$$a_n = a_1 + (n-1),r.$$
Setny wyraz ciągu $5, 8, 11, \dots$: $;a_{100} = 5 + 99 \cdot 3 = 302$, bez wypisywania stu liczb. Zwróć uwagę na $(n-1)$, nie $n$: z pierwszego do setnego wyrazu jest 99 kroków, tak jak między dziesięcioma słupkami płotu jest dziewięć przęseł. To klasyczna pomyłka „o jeden"; płot ratuje intuicję.
Monotoniczność masz za darmo: $r > 0$: rosnący, $r < 0$: malejący, $r = 0$: stały (porównaj: znak $a$ w §7.1; $a_n = a_1 + (n-1)r$ to dosłownie funkcja liniowa numeru).
Jest też własność, od której ciąg wziął nazwę:
📐 FAKT (średnia arytmetyczna sąsiadów): w ciągu arytmetycznym każdy wyraz (poza pierwszym) spełnia $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.
Dowód w jednej linijce: $a_{n-1} + a_{n+1} = (a_n - r) + (a_n + r) = 2a_n$. Sąsiedzi stoją symetrycznie: o $r$ w tył i o $r$ w przód, więc ich środek to dokładnie $a_n$. Praktyczne: liczby $x - r$, $x$, $x + r$ to najwygodniejszy zapis trzech kolejnych wyrazów w zadaniach.
💭 Pomyśl: Między liczby $7$ i $19$ wstaw dwie liczby tak, by wszystkie cztery tworzyły ciąg arytmetyczny.
Sprawdź odpowiedź
Od $7$ do $19$ są trzy kroki: $3r = 12$, więc $r = 4$. Ciąg: $7, 11, 15, 19$. (Znów liczenie przęseł, nie słupków.)
⚠️ Uwaga, pułapka
W zadaniach „sprawdź, czy ciąg jest arytmetyczny" nie wystarczy policzyć $a_2 - a_1$ i $a_3 - a_2$ dla ciągu danego wzorem: trzeba pokazać, że $a_{n+1} - a_n$ nie zależy od $n$ (rachunek na literach, §11.1). Dwie zgodne różnice to poszlaka; stała różnica dla każdego $n$: dowód.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Arytmetyczny: $a_{n+1} - a_n = r$ (stała); test = porównaj różnice sąsiadów.
- $a_n = a_1 + (n-1)r$: uwaga na $n-1$ kroków (przęsła, nie słupki).
- $r > 0$ rosnący, $r < 0$ malejący; to liniowa funkcja numeru.
- Każdy wyraz = średnia arytmetyczna sąsiadów; trzy kolejne wyrazy: $x-r$, $x$, $x+r$.
🎒 Zadania
- W ciągu arytmetycznym $a_1 = 40$, $r = -2{,}5$. Oblicz $a_{12}$ i rozstrzygnij, od którego wyrazu ciąg jest ujemny.
- W ciągu arytmetycznym $a_3 = 10$ i $a_7 = 26$. Wyznacz $r$ i $a_1$.
- Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego mają sumę $27$ i iloczyn $693$. Znajdź je.
Rozwiązanie krok po kroku
1. $a_{12} = 40 + 11 \cdot (-2{,}5) = 12{,}5$. Ujemny: $40 + (n-1)(-2{,}5) < 0 \Rightarrow n - 1 > 16 \Rightarrow n \ge 18$ (od osiemnastego wyrazu).
2. Z $a_3$ do $a_7$ są $4$ kroki: $4r = 26 - 10 = 16 \Rightarrow r = 4$. Wstecz: $a_1 = a_3 - 2r = 2$.
3. Zapis $x - r$, $x$, $x + r$: suma $3x = 27 \Rightarrow x = 9$. Iloczyn: $(9-r) \cdot 9 \cdot (9+r) = 693 \Rightarrow 81 - r^2 = 77 \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = \pm 2$. Wyrazy: $7, 9, 11$ (dla $r = -2$ te same liczby od tyłu). Zauważ różnicę kwadratów z §4.2 w akcji.
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- wyznaczyć dowolny wyraz i parametry $a_1, r$ z dwóch danych wyrazów;
- użyć zapisu $x - r, x, x + r$ w zadaniu tekstowym.