Sumy — ile łącznie

🎯 Po co Ci to?

Odkładasz w styczniu $100$ zł, w lutym $110$, w marcu $120$… Grudzień zamykasz kwotą $210$ zł, ale ile odłożyłeś łącznie przez rok? Amfiteatr ma $20$ rzędów, w każdym o $3$ krzesła więcej: ile miejsc razem? Pytanie „ile łącznie" to suma ciągu, i dla obu naszych bohaterów istnieją wzory tak zgrabne, że jeden z nich odkrył podobno mały chłopiec, nudząc się na lekcji.

✅ Czego się nauczysz

  • liczyć sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (i rozumieć, skąd wzór);
  • liczyć sumę ciągu geometrycznego;
  • rozpoznawać w zadaniach tekstowych, którą sumą strzelać.

📘 Wyjaśnienie

Suma arytmetyczna: sztuczka z parowaniem. Ile wynosi $1 + 2 + \dots + 100$? Zapisz sumę dwa razy (normalnie i od tyłu) i dodaj kolumnami:

$$\begin{aligned} S &= 1 + 2 + \dots + 99 + 100 \ S &= 100 + 99 + \dots + 2 + 1 \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad 2S = \underbrace{101 + 101 + \dots + 101}_{100 \text{ razy}}$$

Każda para daje $101$ (skrajne wyrazy zbliżają się symetrycznie, to znów średnia z §11.2). Więc $2S = 100 \cdot 101$, czyli $S = 5050$. Ta sama sztuczka na literach daje wzór dla każdego ciągu arytmetycznego:

📐 FAKT (suma arytmetyczna): $;S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n;$ (średnia skrajnych razy liczba wyrazów).

Amfiteatr: rzędy $10, 13, 16, \dots$, dwudziesty rząd $a_{20} = 10 + 19 \cdot 3 = 67$; miejsc łącznie $S_{20} = \frac{10 + 67}{2} \cdot 20 = 770$.

Suma geometryczna: sztuczka z przesunięciem. Weź $S = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}$ i pomnóż przez $q = 2$: $;2S = 2 + 4 + \dots + 2^n$. Odejmij: prawie wszystko się skraca (środek obu sum jest identyczny!) i zostaje $2S - S = 2^n - 1$. Ogólnie:

📐 FAKT (suma geometryczna): dla $q \ne 1$: $;S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ (dla $q = 1$ po prostu $S_n = n a_1$).

Szachownica z §11.3 w wersji „łącznie": $S_{64} = 2^{64} - 1 \approx 1{,}8 \cdot 10^{19}$ ziaren, wszystkie pola razem to ledwie dwa razy tyle, co samo ostatnie pole. W geometrycznym wzroście ostatni krok waży niemal tyle, co cała dotychczasowa droga, dlatego epidemie zaskakują, a procent składany nagradza cierpliwych na końcu.

💭 Pomyśl: Wracając do oszczędzania ze wstępu ($100, 110, \dots, 210$ przez 12 miesięcy); ile łącznie?

Sprawdź odpowiedź

Arytmetyczny, $a_1 = 100$, $a_{12} = 210$: $;S_{12} = \frac{100 + 210}{2} \cdot 12 = 155 \cdot 12 = 1860$ zł. Średnia skrajnych ($155$) razy liczba miesięcy; wzór to jedno mnożenie.

⚠️ Uwaga, pułapka

Zanim strzelisz wzorem, sprawdź czym strzelasz: suma arytmetyczna wymaga stałej różnicy, geometryczna stałego ilorazu. W zadaniach mieszanych (np. „pensja rośnie o $5%$ rocznie, ile zarobię łącznie przez 10 lat") kusi wzór arytmetyczny, ale $5%$ to mnożnik, więc to suma geometryczna. Słowo-klucz: „o ile" → arytmetyczny, „o ile procent" → geometryczny.

🕰️ Skąd to się wzięło

Anegdota głosi, że nauczyciel zadał klasie zsumowanie liczb od $1$ do $100$, licząc na godzinę spokoju, a mały Carl Friedrich Gauss podał wynik po chwili, właśnie przez parowanie. Historia jest przekazywana w wielu wersjach i nie sposób ręczyć za szczegóły, ale metoda jest jak najbardziej realna, i starsza niż Gauss: sumowanie postępów znały już Babilonia i Egipt (papirus Rhinda, ok. 1650 p.n.e., zawiera zadanie o siedmiu domach, w każdym siedem kotów…). Gauss zaś wyrósł na jednego z największych matematyków w dziejach; jego nazwisko nosi m.in. krzywa dzwonowa ze statystyki.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Arytmetyczna: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$; średnia skrajnych × liczba wyrazów (parowanie).
  • Geometryczna: $S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$ ($q \ne 1$); sztuczka „pomnóż i odejmij".
  • „o ile" → arytmetyczna; „o ile procent" → geometryczna.
  • W geometrycznym wzroście ogon waży prawie tyle, co cała reszta.

🎒 Zadania

  1. Oblicz sumę wszystkich liczb nieparzystych od $1$ do $99$.
  2. Amfiteatr: $15$ rzędów, pierwszy ma $22$ miejsca, każdy następny o $2$ więcej. Ile miejsc łącznie?
  3. Oblicz $S_{10}$ ciągu geometrycznego $5, 10, 20, \dots$
  4. Kredyt spłacasz tak: pierwsza rata $500$ zł, każda kolejna o $20$ zł mniejsza, ostatnia $200$ zł. Ile rat i jaka łączna spłata?
Rozwiązanie krok po kroku

1. Ciąg $1, 3, \dots, 99$: liczba wyrazów $\frac{99-1}{2} + 1 = 50$; $;S = \frac{1+99}{2} \cdot 50 = 2500$. (Ciekawostka: suma $n$ pierwszych nieparzystych to zawsze $n^2$, tu $50^2$ ✓.)

2. $a_{15} = 22 + 14 \cdot 2 = 50$; $;S_{15} = \frac{22 + 50}{2} \cdot 15 = 540$ miejsc.

3. $q = 2$: $;S_{10} = 5 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 5 \cdot (2^{10} - 1) = 5115$.

4. $200 = 500 + (n-1)(-20) \Rightarrow n - 1 = 15 \Rightarrow n = 16$ rat. $;S_{16} = \frac{500 + 200}{2} \cdot 16 = 5600$ zł.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • wybrać właściwy wzór sumy i uzasadnić wybór (różnica czy iloraz?);
  • odtworzyć obie sztuczki (parowanie; pomnóż-i-odejmij), to one są wiedzą, wzory są ich cieniem.

Ucz się tej jednostki z asystentem