Sinus, cosinus, tangens w trójkącie

🎯 Po co Ci to?

Stoisz $50$ m od masztu. Zadzierasz głowę: wierzchołek widać pod kątem $35°$ do poziomu. To wystarczy, żeby policzyć wysokość masztu, bez wspinaczki, bez taśmy mierniczej. Sekret: w trójkącie prostokątnym kąt wymusza proporcje boków. Kto zna kąt, zna proporcje; kto zna proporcje i jeden bok, zna wszystkie.

✅ Czego się nauczysz

• rozumieć sinus, cosinus i tangens jako stosunki boków (i czemu nie zależą od wielkości trójkąta);
• znać wartości dla $30°, 45°, 60°$;
• liczyć niedostępne wysokości i odległości;
• rozszerzyć sinus, cosinus i tangens na kąty od $0°$ do $180°$ i sprowadzać kąt rozwarty do ostrego.

📘 Wyjaśnienie

Najpierw nazwy boków, wszystko liczy się względem wybranego kąta ostrego $\alpha$:

A teraz kluczowa obserwacja. Narysuj dwa trójkąty prostokątne z tym samym kątem $\alpha$: mały i wielki. Są podobne (te same kąty), więc ich boki są w tej samej proporcji. Iloraz „przeciwległa przez przeciwprostokątną" wyjdzie identyczny w obu: mały czy wielki, ta liczba zależy tylko od $\alpha$. Właśnie odkryłeś, że stosunki boków to funkcje kąta (maszyny z §5.1: wejściem jest kąt, wyjściem proporcja):

📐 DEFINICJA: dla kąta ostrego $\alpha$ w trójkącie prostokątnym: $$\sin \alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}, \qquad \cos \alpha = \frac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}, \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}.$$

Trzy wartości warto znać na pamięć (resztę daje kalkulator lub tablice):

$\alpha$	$30°$	$45°$	$60°$
$\sin \alpha$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\operatorname{tg} \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Skąd te liczby? Nie z sufitu: $45°$ bierze się z połowy kwadratu (przyprostokątne równe $1$, przeciwprostokątna $\sqrt{2}$; stary znajomy z §2.2), a $30°$ i $60°$, z połowy trójkąta równobocznego. Zauważ w tabeli lustro: $\sin 30° = \cos 60°$, bo przeciwległa dla jednego kąta ostrego jest przyległą dla drugiego ($\alpha$ i $90° - \alpha$ dzielą się bokami).

I maszt z haczyka. Względem kąta $35°$: wysokość masztu to przyprostokątna przeciwległa, odległość $50$ m to przyległa. Stosunek „przeciwległa do przyległej" to tangens: $$\operatorname{tg} 35° = \frac{h}{50} ;\Rightarrow; h = 50 \cdot \operatorname{tg} 35° \approx 50 \cdot 0{,}70 = 35 \text{ m}.$$ Jeden kąt, jedna odległość, jedno mnożenie.

💭 Pomyśl: Drabina o długości $6$ m oparta o ścianę tworzy z podłogą kąt $60°$. Jak wysoko sięga?

Sprawdź odpowiedź

Wysokość to przyprostokątna przeciwległa, drabina: przeciwprostokątna: $h = 6 \sin 60° = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}2$ m.

Od kąta ostrego do rozwartego. Trójkąt prostokątny mieści tylko kąty ostre, a trójkąty bywają rozwartokątne. Żeby mówić o $\sin 120°$, przenosimy kąt do układu współrzędnych: wierzchołek w początku układu, jedno ramię wzdłuż dodatniej półosi $Ox$, drugie ramię nad nią (w górnej półpłaszczyźnie). Na drugim ramieniu bierzemy dowolny punkt $P = (x, y)$ różny od początku układu; jego odległość od początku to $r = \sqrt{x^2 + y^2}$.

📐 DEFINICJA (kąt od $0°$ do $180°$): $$\sin \alpha = \frac{y}{r}, \qquad \cos \alpha = \frac{x}{r}, \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x} \quad (\text{dla } x \ne 0,\ \text{czyli } \alpha \ne 90°).$$

Dla kąta ostrego nic się nie zmienia: punkt $P$ leży w pierwszej ćwiartce, a $x$, $y$ i $r$ to przyległa, przeciwległa i przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego. Nowość zaczyna się za $90°$: ramię przechodzi na lewo od osi $Oy$, więc $x < 0$, a $y$ zostaje dodatnie. Dla kąta rozwartego $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$ i $\operatorname{tg} \alpha < 0$. Wybór punktu na ramieniu nie gra roli (to znów podobieństwo), więc najwygodniej brać $r = 1$: wtedy $P = (\cos\alpha, \sin\alpha)$.

Wartości na brzegach czytasz z punktu $P$ przy $r = 1$: dla $0°$ to $(1, 0)$, dla $90°$ to $(0, 1)$, dla $180°$ to $(-1, 0)$. Stąd $\sin 0° = 0$, $\cos 0° = 1$; $\sin 90° = 1$, $\cos 90° = 0$; $\sin 180° = 0$, $\cos 180° = -1$. Tangens kąta prostego nie istnieje (dzielenie przez $x = 0$).

Kąt rozwarty przez ostry. Ramiona kątów $\alpha$ i $180° - \alpha$ są swoimi odbiciami lustrzanymi względem osi $Oy$: ta sama wysokość $y$, przeciwne $x$. Stąd $$\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha, \qquad \cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha, \qquad \operatorname{tg}(180° - \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha.$$ Np. $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$, $\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 120° = -\frac{1}{2}$. Tabela kątów ostrych wystarcza do wszystkich kątów do $180°$.

⚠️ Uwaga, pułapka

„Przeciwległa" i „przyległa" to role względem kąta, nie własności boków: zmień kąt, a boki zamienią się rolami (dlatego $\sin \alpha = \cos(90° - \alpha)$). Przed użyciem wzoru zawsze ustal: który bok jest naprzeciw mojego kąta? I nie ulegaj kalkulatorowemu odruchowi „sinus to przycisk": przycisk poda liczbę, ale to stosunek boków jest znaczeniem, bez niego nie wiesz, co z tą liczbą zrobić. Przy kącie rozwartym pilnuj znaku: cosinus i tangens są ujemne, sinus nie.

🕰️ Skąd to się wzięło

Trygonometrię zrodziła astronomia: Hipparch (II w. p.n.e.) układał pierwsze tablice „cięciw", by liczyć pozycje gwiazd, a matematycy indyjscy przeszli od cięciwy do jej połówki, czyli naszego sinusa. Sama nazwa to lingwistyczna przygoda: sanskryckie jya (cięciwa) Arabowie zapisali jako dżiba, które w tekście bez samogłosek pomylono z dżajb („zatoka"), i łacińscy tłumacze oddali je jako sinus, czyli… zatokę. Przekład przez trzy języki utrwalił pomyłkę na tysiąc lat. „Cosinus" jest uczciwszy: to po prostu complementi sinus, czyli sinus kąta dopełniającego, dokładnie lustro z naszej tabeli.

📌 Najważniejsze w pigułce

• $\sin, \cos, \operatorname{tg}$ = stosunki boków; dzięki podobieństwu zależą tylko od kąta.
• Tabela $30°/45°/60°$, z połowy kwadratu i połowy trójkąta równobocznego, nie z kucia.
• $\sin \alpha = \cos(90° - \alpha)$: kąty ostre trójkąta dzielą się bokami.
• Wysokości i odległości: wybierz kąt, nazwij boki rolami, dobierz stosunek.
• Kąty od $0°$ do $180°$: $P = (x, y)$ na ramieniu, $r$ to odległość od początku układu; $\sin = \frac{y}{r}$, $\cos = \frac{x}{r}$, $\operatorname{tg} = \frac{y}{x}$.
• Kąt rozwarty: $\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha$, $\cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha$, $\operatorname{tg}(180° - \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$.

🎒 Zadania

1. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma $10$, a kąt ostry $30°$. Oblicz obie przyprostokątne.
2. Samolot widać pod kątem $45°$ do poziomu; przelatuje dokładnie nad punktem odległym o $2$ km. Na jakiej wysokości leci?
3. Oblicz: $\sin 60° \cdot \cos 30° + \sin 30° \cdot \cos 60°$. (Wynik zapamiętaj; spotkasz go jeszcze.)
4. Oblicz $\sin 135°$, $\cos 120°$ i $\operatorname{tg} 150°$, sprowadzając do kątów ostrych.
5. Na drugim ramieniu kąta $\alpha$ (pierwsze wzdłuż dodatniej półosi $Ox$) leży punkt $P = (-3, 4)$. Oblicz $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ i $\operatorname{tg} \alpha$. Czy kąt jest ostry, czy rozwarty?

Rozwiązanie krok po kroku

1. Naprzeciw $30°$: $10 \sin 30° = 5$. Przyległa: $10 \cos 30° = 5\sqrt{3} \approx 8{,}7$.

2. $\operatorname{tg} 45° = 1$, więc wysokość = odległość $= 2$ km: kąt $45°$ zawsze zrównuje obie przyprostokątne.

3. $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$. (To nie przypadek: §12.3 wyjaśni dlaczego.)

4. $\sin 135° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $;\cos 120° = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$; $;\operatorname{tg} 150° = -\operatorname{tg} 30° = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5. $r = \sqrt{9 + 16} = 5$: $;\sin\alpha = \frac{4}{5}$, $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{4}{3}$. Pierwsza współrzędna ujemna, więc kąt rozwarty.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• nazwać boki rolami względem wskazanego kąta i dobrać właściwy stosunek;
• policzyć niedostępną wysokość z kąta i jednej odległości;
• policzyć sinus, cosinus i tangens kąta rozwartego oraz kątów $0°$, $90°$, $180°$.

---