Twierdzenie Pitagorasa

🎯 Po co Ci to?

Jedno równanie, które zna cała planeta: $a^2 + b^2 = c^2$. Stolarz sprawdza nim kąt prosty ramy, nawigator liczy dystans po przekątnej, a Ty użyłeś go już dwa razy, nie celebrując: przy $\sqrt{2}$ (§2.2) i przy jedynce trygonometrycznej (§12.3). Czas spłacić dług: zobaczyć, dlaczego to prawda, dowodem tak obrazkowym, że mieści się w jednym spojrzeniu, i nauczyć się twierdzenia używać w obie strony.

✅ Czego się nauczysz

• stosować twierdzenie Pitagorasa (i sprawnie liczyć trzeci bok);
• rozumieć dowód przez układankę, nie tylko „znać wzór";
• używać twierdzenia odwrotnego do rozpoznawania kąta prostego.

📘 Wyjaśnienie

📐 TWIERDZENIE (Pitagorasa): w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a, b$ i przeciwprostokątnej $c$ zachodzi $$a^2 + b^2 = c^2.$$

Skąd to wiadomo? Obejrzyj układankę:

W kwadrat o boku $a + b$ wkładamy cztery kopie naszego trójkąta, przeciwprostokątnymi do środka. Zostaje pochyły czworokąt o boku $c$: kwadrat (boki równe z konstrukcji, a kąt prosty w każdym rogu, bo dwa ostre kąty trójkąta sumują się do $90°$: §13.3). Teraz liczymy pole dużego kwadratu dwoma sposobami (ulubiony chwyt matematyki: pamiętasz kwadrat sumy w §4.2?):

$$(a+b)^2 = 4 \cdot \tfrac{1}{2}ab + c^2 ;;\Longrightarrow;; a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 ;;\Longrightarrow;; a^2 + b^2 = c^2. ;\blacksquare$$

Algebra z §4.2 i geometria podały sobie ręce, a Ty masz dowód, którego nie sposób zapomnieć, bo widziałeś go.

Rachunki w obie strony. Trzeci bok: przyprostokątne $6$ i $8$ dają $c = \sqrt{36 + 64} = 10$ (trójka $6\text{-}8\text{-}10$ to przeskalowane $3\text{-}4\text{-}5$; warto ją rozpoznawać z daleka, obok $5\text{-}12\text{-}13$). Uwaga na kierunek: gdy dana jest przeciwprostokątna, odejmujesz: przy $c = 13$, $a = 5$: $b = \sqrt{169 - 25} = 12$.

Twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe i bezcenne: jeśli $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny (kąt prosty naprzeciw $c$). Stąd trik budowlańców znany od starożytności: sznur z węzłami co równy odcinek, rozpięty w trójkąt $3\text{-}4\text{-}5$, daje idealny kąt prosty, bez żadnego kątomierza. Sprawdź ścianę u siebie: $30$ cm, $40$ cm i przekątna; jeśli $50$, kąt jest prosty.

💭 Pomyśl: Ekran „$50$ cali" to przekątna $127$ cm. Ekran ma proporcje $16{:}9$; jaka jest w przybliżeniu jego szerokość? (Wskazówka: boki to $16k$ i $9k$.)

Sprawdź odpowiedź

$(16k)^2 + (9k)^2 = 127^2 \Rightarrow 337k^2 = 16129 \Rightarrow k \approx 6{,}92$. Szerokość $16k \approx 111$ cm (wysokość $\approx 62$ cm). Pitagoras siedzi w każdej karcie produktu telewizora.

⚠️ Uwaga, pułapka

Twierdzenie działa tylko w trójkącie prostokątnym, i tylko z $c$ jako bokiem naprzeciw kąta prostego (najdłuższym). Wstawienie przyprostokątnej w rolę $c$ to błąd nr 1; błąd nr 2 to odruch $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ (nieprawda: pierwiastek nie rozdziela się na składniki, §3.2). Dla pozostałych trójkątów odpowiednikiem będzie twierdzenie cosinusów (§14.5): Pitagoras okaże się jego szczególnym przypadkiem.

🕰️ Skąd to się wzięło

Trójki takie jak $3\text{-}4\text{-}5$ znali Babilończycy ponad tysiąc lat przed Pitagorasem: słynna tabliczka Plimpton 322 (ok. 1800 p.n.e.) zawiera całą listę trójek pitagorejskich. Pitagoras (VI w. p.n.e.) i jego szkoła dostali od historii nazwę, bo tradycja przypisała im dowód: choć żaden tekst samego Pitagorasa nie przetrwał i szczegóły giną w legendzie. Dowodów zresztą przybywało przez wieki: zebrano ich setki, a jeden opublikował w 1876 r. James Garfield, przyszły prezydent USA. Twierdzenie ma też drugie życie: w §15.1 stanie się wzorem na odległość punktów, a poza szkołą fundamentem geometrii wielowymiarowej, gdzie „odległość" liczy się dokładnie tym samym sumowaniem kwadratów.

📌 Najważniejsze w pigułce

• Prostokątny: $a^2 + b^2 = c^2$, gdzie $c$ = przeciwprostokątna (naprzeciw $90°$, najdłuższa).
• Dowód: pole $(a+b)^2$ liczone dwoma sposobami; układanka z 4 trójkątów i $c^2$.
• Odwrotne też działa: zgadza się rachunek → kąt jest prosty (sznur $3\text{-}4\text{-}5$).
• Trójki warte pamięci: $3\text{-}4\text{-}5$, $5\text{-}12\text{-}13$ (i wielokrotności).

🎒 Zadania

1. Oblicz przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $9$ i $12$.
2. Drabina $5$ m stoi $1{,}4$ m od ściany. Na jaką wysokość sięga?
3. Czy trójkąt o bokach $7, 24, 25$ jest prostokątny? A $8, 9, 12$?
4. Oblicz długość przekątnej prostopadłościennego pudełka $3 \times 4 \times 12$. (Wskazówka: Pitagoras dwa razy; najpierw przekątna dna.)

Rozwiązanie krok po kroku

1. $c = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ (trójka $3\text{-}4\text{-}5$ razy $3$).

2. $h = \sqrt{25 - 1{,}96} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ m.

3. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ ✓: prostokątny. $;8^2 + 9^2 = 145 \ne 144 = 12^2$, nie (i skoro $145 > 144$, kąt naprzeciw $12$ jest ostry: trójkąt ostrokątny, ale to już deser).

4. Przekątna dna: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Przekątna pudełka: $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$. (Ogólnie $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$; Pitagoras piętrowy; wróci w stereometrii, §16.3.)

🔍 Sprawdź, czy umiesz

• policzyć trzeci bok w obie strony (z dodawaniem i odejmowaniem kwadratów);
• opowiedzieć dowód-układankę i użyć twierdzenia odwrotnego.

---