Podobieństwo

🎯 Po co Ci to?

Zdjęcie z drona, makieta stadionu, mapa w telefonie, wszystko to ten sam kształt w innej skali. Intuicyjnie czujesz, kiedy dwie figury są „takie same, tylko większe/mniejsze"; matematyka robi z tego precyzyjne narzędzie, którego użyłeś już dwukrotnie, nie nazywając: przy Talesie (§13.2) i przy definicji sinusa (§12.1; „stosunki nie zależą od wielkości trójkąta" to było właśnie podobieństwo!). Czas nazwać rzecz po imieniu i poznać jej najbardziej zdradliwą własność: pola skalują się inaczej niż długości.

✅ Czego się nauczysz

  • rozumieć podobieństwo i skalę $k$; cechy podobieństwa trójkątów;
  • obliczać długości w figurach podobnych;
  • stosować regułę: obwody skalują się jak $k$, pola jak $k^2$.

📘 Wyjaśnienie

📐 DEFINICJA (figury podobne): figury o tym samym kształcie: odpowiednie kąty równe, a wszystkie odpowiednie długości pozostają w stałym stosunku $k$, czyli skali podobieństwa. Zapis: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$.

Dla trójkątów nie trzeba sprawdzać wszystkiego: wystarczą cechy podobieństwa: (KKK) dwa kąty jednego równe dwóm kątom drugiego (trzeci gratis; §13.3); (BBB) wszystkie boki w tym samym stosunku; (BKB) dwa boki w stosunku i równy kąt między nimi. W praktyce królują kąty: dwa równe kąty i podobieństwo masz z głowy.

Klasyczna konfiguracja: prosta równoległa do boku trójkąta odcina trójkąt podobny do wyjściowego (kąty odpowiadające przy równoległych; §13.1; to jest Tales powiedziany językiem podobieństwa). Druga klasyka: wysokość z kąta prostego dzieli trójkąt prostokątny na dwa trójkąty podobne do całości, obie wracają na maturze jak bumerang.

📐 TWIERDZENIE (o odcinkach w trójkącie prostokątnym): jeśli $CD$ jest wysokością trójkąta prostokątnego $ABC$ o kącie prostym przy $C$, to $$|CD|^2 = |AD| \cdot |DB|, \qquad |AC|^2 = |AB| \cdot |AD|, \qquad |BC|^2 = |AB| \cdot |DB|.$$

Dowód. Trójkąty $ADC$ i $ACB$ mają wspólny kąt przy $A$ i po kącie prostym (przy $D$ i przy $C$), więc są podobne (KKK). Tak samo $CDB \sim ACB$ (wspólny kąt przy $B$). Skoro oba małe są podobne do dużego, są podobne do siebie: $ADC \sim CDB$, przy czym kątowi przy $A$ odpowiada kąt $BCD$. Proporcje odpowiednich boków: z $ADC \sim CDB$ mamy $\frac{|AD|}{|CD|} = \frac{|CD|}{|DB|}$, czyli $|CD|^2 = |AD| \cdot |DB|$; z $ADC \sim ACB$ mamy $\frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|AB|}$, czyli $|AC|^2 = |AB| \cdot |AD|$; trzecia równość analogicznie z $CDB \sim ACB$. $\blacksquare$ (Dodaj dwie ostatnie stronami: $|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|(|AD| + |DB|) = |AB|^2$. To jeszcze jeden dowód twierdzenia Pitagorasa.)

Skalowanie długości i pól. Jeśli skala wynosi $k$, to każda długość (bok, obwód, przekątna, promień okręgu opisanego…) mnoży się przez $k$. Ale pole to iloczyn dwóch długości: mnoży się przez $k$ dwa razy:

$$\text{obwód}' = k \cdot \text{obwód}, \qquad \text{pole}' = k^2 \cdot \text{pole}.$$

To zmienia intuicję bardziej, niż się wydaje. Pizza $40$ cm vs $20$ cm: skala $2$, pole $4$ razy większe; duża pizza to cztery małe, nie dwie. Wydrukowana „dwukrotnie powiększona" mapa zużywa cztery razy więcej papieru. A w drugą stronę: model samolotu w skali $1{:}100$ ma powierzchnię skrzydeł $10,000$ razy mniejszą.

obwód 12obwód 12kte same kąty,skala k = 1,8długości × kobwód × kpole × k²
Dwa podobne trójkąty prostokątne w skali k równej 1,8 z zaznaczonym równym kątem; podpisy: długości razy k, obwód razy k, pole razy k kwadrat. · rys. własny

💭 Pomyśl: Trójkąt powiększono tak, że jego pole wzrosło $9$ razy. Ile razy wydłużyły się boki?

Sprawdź odpowiedź

$k^2 = 9 \Rightarrow k = 3$. Boki trzykrotnie: pole dziewięciokrotnie. (Skala działa w obie strony: z pól wyciągasz pierwiastek, §3.2.)

⚠️ Uwaga, pułapka

Podobieństwo wymaga odpowiedniości: stosunek trzeba liczyć między bokami leżącymi naprzeciw równych kątów, nie „najdłuższy do najdłuższego na oko". Zanim napiszesz proporcję, ustal parowanie wierzchołków (kolejność liter w zapisie $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ niesie tę informację: $A \leftrightarrow P$, $B \leftrightarrow Q$…). I nie myl podobieństwa z przystawaniem: przystające to podobne w skali $k = 1$: ten sam kształt i rozmiar.

📌 Najważniejsze w pigułce

  • Podobne = równe kąty + stała skala $k$ wszystkich długości.
  • Trójkąty: wystarczą cechy (najczęściej dwa równe kąty).
  • Obwody $\times k$, pola $\times k^2$ (pizza!); z pól skala przez pierwiastek.
  • Parowanie wierzchołków przed proporcją; przystawanie = podobieństwo z $k=1$.

🎒 Zadania

  1. Trójkąty $ABC$ i $PQR$ są podobne, $|AB| = 6$, $|PQ| = 9$, obwód $ABC$ to $20$. Oblicz obwód $PQR$.
  2. Plan mieszkania w skali $1{:}50$. Salon na planie ma wymiary $8 \times 10$ cm. Ile m² ma naprawdę?
  3. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $6$ i $8$ poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Wykaż podobieństwo powstałych trójkątów do wyjściowego i oblicz tę wysokość. (Wskazówka: pole liczone dwoma sposobami.)
Rozwiązanie krok po kroku

1. $k = \frac{9}{6} = 1{,}5$; obwód $PQR = 1{,}5 \cdot 20 = 30$.

2. Rzeczywiste wymiary: $4 \times 5$ m, pole $20$ m². (Kontrola przez $k^2$: pole planu $80$ cm² razy $50^2 = 2500$ daje $200,000$ cm² $= 20$ m² ✓.)

3. Każdy z małych trójkątów ma kąt prosty i jeden kąt wspólny z dużym → dwa równe kąty → podobieństwo (KKK). Wysokość: przeciwprostokątna $= 10$; pole $= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ i zarazem $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$, więc $h = 4{,}8$.

🔍 Sprawdź, czy umiesz

  • uzasadnić podobieństwo cechą i poprawnie sparować boki;
  • przeskalować obwód przez $k$, a pole przez $k^2$, i odwrotnie.

Ucz się tej jednostki z asystentem