Prosta — równanie kierunkowe i ogólne
🎯 Po co Ci to?
Prostą znasz z dwóch stron: geometrycznej (Dział 13) i funkcyjnej ($y = ax + b$, §7.1). Teraz obie się sklejają, z bonusem: nauczysz się obsługiwać proste pionowe (których funkcja liniowa nie umiała opisać!), rozpoznawać położenie dwóch prostych z samych równań i wyznaczać równania z warunków geometrycznych. Prosta stanie się obiektem, którym się liczy.
✅ Czego się nauczysz
- używać postaci kierunkowej $y = ax + b$ i ogólnej $Ax + By + C = 0$;
- rozpoznawać równoległość ($a_1 = a_2$) i znajdować punkt wspólny dwóch prostych;
- wyznaczać równanie prostej przez punkt o zadanym kierunku i przez dwa punkty.
📘 Wyjaśnienie
Postać kierunkowa $y = ax + b$ to stara znajoma: $a$ to tempo (nachylenie), $b$ to przecięcie z osią $y$ (§7.1 w komplecie). Ma jednak ślepą plamkę: prosta pionowa (np. wszystkie punkty o $x = 3$) nie jest wykresem żadnej funkcji (test pionowej prostej z §5.2; oblewa go sama!). Ratuje ją postać ogólna:
$$Ax + By + C = 0 \qquad (A, B \text{ nie oba zerowe}).$$
Pionowa $x = 3$ to $1 \cdot x + 0 \cdot y - 3 = 0$. Każdą kierunkową łatwo przepisać na ogólną (przenieś wszystko na lewo), a ogólną z $B \ne 0$ na kierunkową (wylicz $y$). Dwa języki, jedna prosta; wybieraj wygodniejszy.
Równoległość i punkt wspólny. Równoległość znasz z §7.1: ten sam współczynnik $a$ (przy tym samym $b$ to już nie dwie proste, tylko jedna). Proste o różnych współczynnikach $a$ przecinają się w dokładnie jednym punkcie, a jego współrzędne to rozwiązanie układu ich równań (§7.2). Np. proste $y = 2x - 1$ i $x + y = 5$: po wstawieniu $x + 2x - 1 = 5$, więc $x = 2$, $y = 3$; punkt wspólny to $(2, 3)$.
Wyznaczanie równań, dwa warsztaty, oba z §7.1, teraz w wersji „przez punkt":
- przez punkt $P(x_0, y_0)$ o znanym nachyleniu $a$: $;y = a(x - x_0) + y_0$ (sprawdź: dla $x = x_0$ wychodzi $y_0$ ✓, to przesunięcie z §6.2!);
- przez dwa punkty: najpierw nachylenie $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (przyrost przez przyrost), potem jak wyżej.
💭 Pomyśl: Czy proste $y = 3x - 7$ i $6x - 2y + 5 = 0$ są równoległe?
Sprawdź odpowiedź
Drugą przepisz na kierunkową: $2y = 6x + 5$, czyli $y = 3x + 2{,}5$. Współczynnik $a$ ten sam ($3$), wyrazy wolne różne: tak, to dwie różne proste równoległe. (Postaci ogólnej nie porównuj „na oko”: najpierw wylicz $y$.)
⚠️ Uwaga, pułapka
W zapisie $y = a(x - x_0) + y_0$ znaki „minus" lubią się gubić przy ujemnych współrzędnych punktu, dla $P(-2, 5)$ wychodzi $y = a(x + 2) + 5$. Wstaw punkt z powrotem i sprawdź: trzy sekundy, zero wpadek.
📌 Najważniejsze w pigułce
- Kierunkowa $y = ax + b$ (bez pionowych); ogólna $Ax + By + C = 0$ (wszystkie proste).
- Równoległe: $a_1 = a_2$; o różnych $a$ przecinają się w jednym punkcie (rozwiązanie układu).
- Przez punkt: $y = a(x - x_0) + y_0$; przez dwa punkty: najpierw $a$ z przyrostów.
🎒 Zadania
- Napisz równanie prostej przechodzącej przez $(2, -1)$, równoległej do $y = 4x + 3$.
- Napisz równanie prostej przez punkty $(-1, 5)$ i $(3, -3)$.
- Znajdź punkt wspólny prostych $y = -x + 4$ i $3x - y - 8 = 0$.
Rozwiązanie krok po kroku
1. Równoległość: $a = 4$: $;y = 4(x - 2) - 1 = 4x - 9$.
2. $a = \frac{-3 - 5}{3 - (-1)} = -2$: $;y = -2(x + 1) + 5 = -2x + 3$. (Kontrola drugim punktem: $-6 + 3 = -3$ ✓.)
3. Z drugiej $y = 3x - 8$; przyrównaj: $-x + 4 = 3x - 8$, więc $x = 3$, $y = 1$. Punkt wspólny $(3, 1)$. (Kontrola w obu równaniach: $-3 + 4 = 1$ ✓, $9 - 1 - 8 = 0$ ✓.)
🔍 Sprawdź, czy umiesz
- przejść między postacią kierunkową a ogólną (i wiedzieć, czemu ogólna jest ogólniejsza);
- wyznaczyć prostą z warunków: punkt + kierunek, dwa punkty, równoległość;
- znaleźć punkt wspólny dwóch prostych;